专题08向量方法解决角和距离（测）【解析版】（理科）第一篇热点、难点突破篇-《2022年高考理科数学二轮复习讲练测》（全国课标版）

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专题 08 立体几何中的角和距离—测

【满分：150 分时间：120 分钟】

一、单项选择题（12*5=60 分）

1．在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M是AB 的中点，则 sin〈DB1，CM〉的值等于(　　)

A. B.

C. D.

解析　分别以 DA，DC，DD1为x，y，z轴建系，令 AD＝1，所以DB1＝(1,1,1)，CM＝。所

以cos〈DB1，CM〉＝＝。所以 sin〈DB1，CM〉＝。

答案　B

2．已知直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，底面 ABCD 为正方形，AA1＝2AB，E为AA1的中点，

则异面直线 BE 与CD1所成角的余弦值为(　　)

A. B.

C. D.

解析　如图，以 D为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系。设 AA1＝2AB ＝2，则

B(1,1,0) ，E(1,0,1) ，C(0,1,0) ，D1(0 ，0,2) 。所以BE ＝(0 ，－ 1,1) ，CD1 ＝(0 ，－ 1,2) 。所以

cos〈BE，CD1〉＝＝。

答案　C

3.如图，在棱长为 2的正方体 ABCDA1B1C1D1中，E为线段 CD1的中点，则直线 AE 与平面

A1BCD1所成角的正切值为(　　)

A. B.

C. D.

解析　连接 AB1，与 A1B交于点 F(图略)，由于 AF⊥A1B，AF⊥BC，则 AF⊥平面 A1BCD1。

连接 EF，则∠AEF 是直线 AE 与平面 A1BCD1所成的角，tan∠AEF＝＝。故选 A。

答案　A

4.如图，点 A，B，C分别在空间直角坐标系 Oxyz 的三条坐标轴上，OC＝(0,0,2)，平面 ABC

的法向量为 n＝(2,1,2)。设二面角 CABO 的大小为 θ，则 cos θ＝(　　)

A. B.

C. D．－

解析　由题意得平面 AOB 的一个法向量为 OC ＝(0,0,2) 。又平面 ABC 的法向量为 n＝

(2,1,2)，二面角 CABO 的大小为 θ，且为锐角，所以 cos θ＝＝＝。故选 C。

答案　C

5.(2021·长春调研)如图所示，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝BC＝

2。若二面角 B1DCC1的大小为 60°，则 AD 的长为(　　)

A. B.

C．2 D.

解析　如图所示，以 C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为 x轴，y轴，z轴建立空

间直角坐标系，则 C(0,0,0) ，A(1,0,0) ，B1(0,2,2) ，C1(0,0,2) 。设 AD ＝a，则 D点坐标为

(1,0，a)，CD＝(1,0，a)，CB1＝(0,2,2)。设平面 B1CD 的一个法向量为 m＝(x，y，z)。由得令 z

＝－1，则 m＝(a,1，－1)。又平面 C1DC 的一个法向量为 n＝(0,1,0)，则由 cos 60°＝，得＝，解

得a＝(负值舍去)，所以 AD＝。故选 A。

答案　A

6．已知直四棱柱 ABCDA1B1C1D1的所有棱长都相等，∠ABC＝60°，则直线 BC1与平面

ABB1A1所成角的余弦值为(　　)

A. B.

C. D.

解析　取BC 的中点 E，连接 AE，AC。因为四边形 ABCD 为菱形，∠ABC＝60°，所以△ABC

为正三角形，则 AE⊥BC，又 AD∥BC，所以 AE⊥AD。以 A为原点，AE的方向为 x轴正方向，

AD的方向为 y轴正方向，AA1的方向为 z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系。设 AB＝

2，则 B(，－1,0) ，C1(，1,2) ，A(0,0,0)，A1(0,0,2) ，BC1＝(0,2,2)，AB＝(，－1,0) ，AA1 ＝

(0,0,2)。设平面 ABB1A1的一个法向量为 n＝(x，y，z)，则取 x＝1，得 n＝(1，，0)。设直线 BC1

与平面 ABB1A1所成的角为 θ，则 sin θ＝|cos〈BC1，n〉|＝＝＝，因为 θ∈[0°，90°]，所以 cos θ

＝＝，所以直线 BC1与平面 ABB1A1所成角的余弦值为。故选 B。

7.在三棱柱 ABC－A1B1C1中，底面是边长为 1的正三角形，侧棱 AA1⊥底面 ABC，点 D在棱 BB1

上，且 BD＝1，若 AD 与平面 AA1C1C所成的角为 α，则 sin α的值是(　　)

A. B. C. D.

答案　D

解析　如图，建立空间直角坐标系，

易求点 D，AD＝，平面 AA1C1C的一个法向量是 n＝(1，0，0)，

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