专题08立体几何中的截面、交线、最值问题（讲、练）【解析版】（文科）第一篇热点、难点突破篇-《2022年高考文科数学二轮复习讲练测》（全国课标版）

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专题 09 立体几何中的截面、交线、最值问题（讲、练）（文）

立体几何中截面与交线问题涉及线、面位置关系，点线共面、线共点等问题，综合性强，思

维层次高，能够培养学生直观想象和逻辑推理等数学核心素养.

1.（2018 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标 I卷））已知圆柱的上、下底面的中心分别为

，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8的正方形，则该圆柱的表面积为

A．B．C．D．

【答案】B

【详解】：根据题意，可得截面是边长为的正方形，

结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是的圆，且高为，

所以其表面积为，故选 B.

2.【2020 年新高考全国Ⅰ卷】已知直四棱柱 ABCD–A1B1C1D1的棱长均为 2，∠BAD=60°．以为球心，为半

径的球面与侧面 BCC1B1的交线长为________．

【答案】 .

【解析】如图：

取的中点为，的中点为，的中点为，

因为 60°，直四棱柱的棱长均为 2，所以△ 为等边三角形，所以

，，

又四棱柱为直四棱柱，所以平面

A1B1C1D1

，所以，

因为，所以侧面，

设为侧面与球面的交线上的点，则，

因为球的半径为，，所以，

所以侧面与球面的交线上的点到的距离为，

因为，所以侧面与球面的交线是扇形的弧，

因为，所以，

所以根据弧长公式可得 .

故答案为： .

【点睛】本题考查了直棱柱的结构特征，考查了直线与平面垂直的判定，考查了立体几何中的轨迹问题，

考查了扇形中的弧长公式，属于中档题.

一、考向分析：

二、考向讲解.

考点一截面问题

【典例 1】 (2021·石家庄调研)已知长方体 ABCD－A1B1C1D1的高为，两个底面均为边长为 1的正

方形，过 BD1作平面 α分别交棱 AA1，CC1于E，F，则四边形 BFD1E面积的最小值为________.

思路点拨　先确定四边形 BFD1E为平行四边形，连接 BD1，设△BFD1中BD1边上的高为 h，于是

S四边形 BFD1E＝2S△BFD1＝BD1·h＝2h，因此只需求 h的最小值即可.也可以用射影面积法求解.

答案　

解析　法一　根据题意作图，如图所示，过点 F作FH⊥BD1交BD1于H，设 FH＝h.

由题意得 BD1＝2.

因为长方体对面平行，

所以截面 BFD1E为平行四边形，则 S四边形 BFD1E＝2S△BFD1＝2×BD1·h＝2h，

当h取最小值时四边形 BFD1E的面积最小.

易知 h的最小值为直线 CC1与直线 BD1间的距离.

立体几何

截面交线最值

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