专题08 圆锥曲线中的向量问题-直击2021年高考中的圆锥曲线问题（理科数学）

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专题 08 圆锥曲线中的向量问题

一、主要题型：

1．三点共线问题；

2．公共点个数问题；

3．弦长问题；

4．中点问题；

5．定比分点问题；

6．对称问题；

7．平行与垂直问题；

8．角的问题。

二、近几年平面向量与解析几何交汇试题考查方向为

（1）考查学生对平面向量知识的简单运用，如向量共线、垂直、定比分点。

（2）考查学生把向量作为工具的运用能力，如求轨迹方程，圆锥曲线的定义，标准方程和几

何性质，直线与圆锥曲线的位置关系。

特别提醒：法和韦达定理是解决直线和圆锥曲线位置关系的重要工具。

技巧 1 已知向量关系求值

例1、已知、为抛物线上的不同两点，为抛物线的焦点，若，

则直线的斜率为（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】

【分析】

【详解】

设，，由 . ①

设，与抛物线联立得， . ②

式①、②联立解得 .

故答案为 D

例2、已知抛物线上的焦点为 .

（1）求抛物线的标准方程；

（2）过作斜率为的直线交曲线于、两点，若，求直线的方程.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）根据焦点坐标求得，结合抛物线的开口方向求得抛物线的标准方程.

（2）联立直线的方程和抛物线方程，写出根与系数关系，结合求得的值，进而求得

直线的方程.

【详解】

（1）依题意，抛物线的焦点为，开口向上，，所以曲线的方程为：

；

（2）设过的斜率为的直线方程为：，

联立，消去并化简得 . 令、，

所以，，

由题可知：，即：，即得，

由，，得：，，

所求直线的方程为： .

【点睛】

本小题主要考查抛物线方程的求法，考查直线和抛物线的位置关系，属于中档题.

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