专题08 利用导数解决函数能成立恒成立问题（解析版）-2022届高考数学一模试题分类汇编（新高考卷）

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08 利用导数解决函数能成立恒成立问题
【2022 届新高考一模试题分类汇编】
一、解答题
1．（2022·全国·高二课时练习）在① 在定义域内单调递减，②当 时，
恒成立这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.
已知函数 ， .
(1)若___________，求实数 的取值范围；
(2)函数 ，其中 为 的导函数，求 的最值.
【解析】 (1)若选①， 的定义域为 ，因为 在 上单调递减，
所以 在 上恒成立.
因为 ，所以 ，即 在 上恒成立.
令 ，其中 ，则 ，令 ，得 .
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，所以 ，即 的取值范围为 ；
若选②，因为当 时， 恒成立，
所以 ，即 在 上恒成立.
令 ，则 ，令 ，得 .
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，所以 ，所以 的取值范围为 .
(2)解：因为 ，所以 .
令 ，则 ，
所以 在 上单调递减，且 ，
所以当 时， ；当 时， .
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 ，无最小值.
2．（2019·黑龙江·鸡西实验中学高三阶段练习（理））设 为实数，函数
，.
(1)求 的极值；
(2)对于 ， ，都有 ，试求实数 的取值范围.
【解析】 (1)解：函数 的定义域为 ， ，
令 ，可得 或 ，列表如下：
增 极大值 减 极小值 增
故函数 的极大值为 ，极小值为 .
(2)解：对于 ， ，都有 ，则 .
由（1）可知，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
故当 时， ，
因为 ，且 ，则 且 不恒为零，
故函数 在 上单调递增，故 ，由题意可得 ，故
.
3．（2022·黑龙江·哈尔滨三中一模（文））已知函数 ．
(1)若 是函数 的极值点，求实数 a的值；
(2)若 对任意的 恒成立，其中 是 的导函数，求 a能取
到的最大正整数值．
【解析】 (1) ，
因为 是函数 的极值点，
所以 ，即 ，解得 ，
则 ，
令 ，则 ，
当 时， ，
所以函数 在 上递减，即函数 在 上递减，
又 ，
则当 时， ，当 时， ，
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