专题08 【大题限时练8】-备战2022年江苏高考数学满分限时题集（解析版）

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专题 08 大题限时练 8

1．已知数列

{ }

的前

项和为

，且

2 2

n n

S a 

．

（1）求数列

{ }

的通项公式；

（2）设

2log 11

n n

b a 

，数列

{ }

的前

项和为

，求

的最小值及取得最小值时

的值．

【答案】（1）

a

；（2）当

5n

时，

取得最小值，且其最小值为

25

【详解】（1）数列

{ }

满足

2 2

n n

S a 

，①

当

1n

时，有

1 1 1

2 2S a a  

，变形可得

12a

，

当

2n…

时，有

1 1

2 2

n n

S a

 

 

，②，

①



②可得：

2 2

n n n

a a a



 

，变形可得：

n n

a a





，

则数列

{ }

是以

12a

为首项，公比为 2的等比数列，故

a

，

（2）根据题意，

2 2

2log 11 2log 2

n n

b a  

11 2 11

n  

，

当

1n

时，

2 11 9b   

，

数列

{ }

为等差数列，且首项

9b 

，公差

2d

；

则

( ) ( 9 2 11) 10

2 2

nbb n n

T n n

    

   

，

则当

5n

时，

取得最小值，且其最小值为

25

．

2．在平面直角坐标系

xOy

中，已知角



的顶点与坐标原点重合，始边与

轴的非负半轴重合，它的终边

过点

3 4

( , )

5 5

P 

．

（1）求

sin( )







的值；

（2）若角



满足

sin( ) 13

 

 

，求

cos



的值．

【答案】（1）

1 3 1 4 3 3 4 3 3

sin( ) sin cos ( ) ( )

3 2 2 2 5 2 5 10



  



           

；（2）

cos 65



 

或

cos 65



 

【详解】（1）



角



的终边经过点

3 4

( , )

5 5

P 

，



2 2

3 4

( ) ( ) 1

5 5

OP     



4 3

sin ,cos

5 5

 

    



1 3 1 4 3 3 4 3 3

sin( ) sin cos ( ) ( )

3 2 2 2 5 2 5 10



  



           

（2）



sin( ) 13

 

 

，



2 2

5 12

cos( ) 1 sin( ) 1 ( )

13 13

   

          

( )

   

  

，

cos cos( ) cos sin( )sin

      

    



当

cos( ) 13

 

 

时，

cos 65



 

；

当

cos( ) 13

 

  

时，

cos 65



 

综上所述：

cos 65



 

或

cos 65



 

3．如图，在五面体

ABCDEF

中，四边形

ABEF

为正方形，平面

ABEF 

平面

CDFE

，

/ /CD EF

，

DF EF

，

2 2EF CD 

．

（1）若

2DF 

，求二面角

A CE F 

的正弦值；

（2）若平面

ACF 

平面

BCE

，求

的长．

【答案】（1）

；（2）

1DF 

【详解】（1）因为平面

ABEF 

平面

CDFE

，平面

ABEF 

平面

CDFE EF

，

DF EF

，

DF 

平面

CDFE

，

所以

DF 

平面

ABEF

，所以

DF AF

．

又因为

AF EF

，

DF 

平面

CDFE

，

EF 

平面

CDFE

，

DF EF F



．

所以

AF 

平面

CDFE

．

在平面

CEF

内过点

作

FG CE

于

，连结

，则

AG CE

．

所以

AGF

为二面角

A CE F 

的平面角．

ABCDFEGl

在

CEF

中，

5CE CF 

，

2EF 

，

由

1 1

2 2

CEF

S EF DF CE FG



     

，得

4 5

FG 

．

在

AFG

中，

6 5

2 2 5

AG AF FG  

，

所以

sin 3

AGF AG

  

，

所以二面角

A CE F 

的正弦值为

．

（2）设平面

ACF



平面

BCF l

．

因为四边形

ABEF

为正方形，所以

/ /AF BE

．又

AF 



平面

BCE

，

BE 

平面

BCE

，

所以

/ /AF

平面

BCE

．

又

AF 

平面

ACF

，平面

ACF



平面

BCE l

，所以

/ /AF l

．

因为

AF 

平面

CDFE

，

CF 

平面

CDFE

，所以

AF CF

，所以

CF l

．

又平面

ACF 

平面

BCE

，平面

ACF



平面

BCE l

，

CF 

平面

ACF

，

所以

CF 

平面

BCE

．

又

CE 

平面

BCE

，所以

CF CE

，所以

2 2 2

CF CE EF 

．

设

( 0)DF t t 

，则

1CF t 

，

1CE t 

，所以

2 2 2

( 1) ( 1) 2t t   

，

解得

1t

，即

1DF 

．

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