专题7-2 基本不等式归类-2022年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）（解析版）

3.0 envi 2025-03-06 4 4 1.82MB 27 页 3知币

专题 7-2 基本不等式归类

一、热点题型归纳.........................................................................................................................................................1

【题型一】基础型.............................................................................................................................................1

【题型二】 “1”的代换型.................................................................................................................................2

【题型三】 “和”与“积”互消型................................................................................................................3

【题型四】以分母为主元构造型....................................................................................................................5

【题型五】构造分母：待定稀释型................................................................................................................6

【题型六】分离分子型.....................................................................................................................................8

【题型七】反解代入型消元法........................................................................................................................9

【题型八】因式分解.......................................................................................................................................10

【题型九】均值用两次...................................................................................................................................11

【题型十】换元型题.......................................................................................................................................13

【题型十一】“和”与索取和系数不一致型..................................................................................................14

【题型十二】“均值裂项”凑配型..................................................................................................................15

【题型十三】整体化同乘方程型......................................................................................................................17

【题型十四】三元最值型...................................................................................................................................18

【题型十五】恒成立求参数型..........................................................................................................................19

【题型十六】超难压轴小题..............................................................................................................................20

二、最新模考题组练...................................................................................................................................................22

【题型一】基础型

【典例分析】

在下列函数中,最小值是 2的是

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】A. ,当时 ,不符合题意;

B. = = = ,当时取等号,不符合题意;

C. = = ,∵,∴,∴,∴不符合题意;

D. ,当且仅当时取等号,符合题意.故选 D．

【提分秘籍】

基本规律

1.基本公式

2.一正二定三相等。是均值成立的前提条件。

【变式演练】

1.已知关于 x的不等式的解集为，则的最小值是______．

【答案】

【详解】由于，故一元二次方程的判别式：，

由韦达定理有：，则：，

当且仅当时等号成立.综上可得：的最小值是 .

2.若都是正数，则的最小值为( ).

A.5 B.7 C.9 D.13

【答案】C

【详解】因为都是正数，所以，（当且仅当

时取等号），故本题选 C.

3.在区间[ 2﹣，4]上随机地取一个数 x，使恒成立的概率是（¨¨）

A．B．C．D．

【答案】A

【详解】恒成立，即，设，则

，当且仅当，即时，等号成立，所以问题转化为，

即，所以在区间上随机地取一个数时，使恒成立的概率是，

故选择 A.

【题型二】 “1”的代换型

【典例分析】

已知 x，y均为正实数，且，则 x+3y 的最小值为__________

【详解】x，y均为正实数, ,

当时等

号成立.故答案为：2.

【提分秘籍】

基本规律

“1”代换是基本型，要注意

1.一正二定三相等

2.见分子想分母，见分子想分子。

【变式演练】

1.已知，，，则的最小值为（　　）

A．20 B．24 C．25 D．28

【答案】C

【分析】凑配出积为定值后用基本不等式求最小值．

【详解】由题意，当且仅当，即

时等号成立．故选：C．

2.已知，，，则的最小值为（）

A．13 B．19 C．21 D．27

【答案】D

【分析】利用基本不等式“1”的妙用求最小值.

【详解】，当且仅当，即，b＝

6时，等号成立，故的最小值为 27。故选：D

3.已知正实数，b满足＋b＝1，则的最小值为_____

【详解】因为，且都是正实数.所以

当且仅当时，等号成立.所以的最小值为

【题型三】 “和”与“积”互消型

【典例分析】

已知 x

、

y都是正数，且满足，则的最大值为_________．

【答案】18.

【分析】

根据基本不等式，得到关于的不等式，解得的范围，从而得到的范围，求出答

案.

【详解】因为，且，所以，（当且仅当时，取等号）

即，解得，所以得，

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