专题07立体几何线面位置关系（讲）【解析版】（理科）第一篇热点、难点突破篇-《2022年高考理科数学二轮复习讲练测》（全国课标版）

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专题 07　立体几何线面位置关系（讲）（理）

1.以几何体为载体考查空间点、线、面位置关系的判断，主要以选择题、填空题的形式出现，

题目难度较小；2.以解答题的形式考查空间平行、垂直的证明，并与空间角的计算综合命题.

1.(2021·浙江卷)如图，已知正方体 ABCD－A1B1C1D1，M，N分别是 A1D，D1B的中点，则(　　)

A.直线 A1D与直线 D1B垂直，直线 MN∥平面 ABCD

B.直线 A1D与直线 D1B平行，直线 MN⊥平面 BDD1B1

C.直线 A1D与直线 D1B相交，直线 MN∥平面 ABCD

D.直线 A1D与直线 D1B异面，直线 MN⊥平面 BDD1B1

答案　A

解析　法一　连接 AD1(图略)，则易得点 M在AD1上，且 M为AD1的中点，AD1⊥A1D.

因为 AB⊥平面 AA1D1D，A1D⊂平面 AA1D1D，

所以 AB⊥A1D，

又AB∩AD1＝A，AB，AD1⊂平面 ABD1，

所以 A1D⊥平面 ABD1，又 BD1⊂平面 ABD1，显然 A1D与BD1异面，所以 A1D与BD1异面且垂直.

在△ABD1中，由中位线定理可得 MN∥AB，

又MN⊄平面 ABCD，AB⊂平面 ABCD，

所以 MN∥平面 ABCD.

易知直线 AB 与平面 BB1D1D成45°角，

所以 MN 与平面 BB1D1D不垂直.

所以选项 A正确.故选 A.

法二　以点 D 为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为 x，y，z轴建立空间直角坐标系(图

略). 设AB ＝2，则 A1(2 ，0，2) ，D(0 ，0，0) ，D1(0 ，0，2) ，B(2 ，2，0) ，所以

M(1，0，1)，N(1，1，1)，所以A1D＝(－2，0，－2)，D1B＝(2，2，－2)，MN＝(0，1，0)，所

以A1D·D1B＝－4＋0＋4＝0，

所以 A1D⊥D1B.

又由图易知直线 A1D与D1B是异面直线，

所以 A1D与D1B异面且垂直.

因为平面 ABCD 的一个法向量为 n＝(0，0，1)，所以MN·n＝0，又 MN⊄平面 ABCD，所以 MN∥

平面 ABCD.

设直线 MN 与平面 BB1D1D所成的角为 θ，因为平面 BDD1B1的一个法向量为 a＝(－1，1，0)，所

以sin θ＝|cos〈MN，a〉|＝＝＝，所以直线 MN 与平面 BB1D1D不垂直.故选 A.

2.(2020·全国Ⅲ卷)如图，在长方体 ABCD－A1B1C1D1中，点 E，F分别在棱 DD1，BB1上，且 2DE

＝ED1，BF＝2FB1.证明：

(1)当AB＝BC 时，EF⊥AC；

(2)点C1在平面 AEF 内.

证明　(1)如图，连接 BD，B1D1.

因为 AB＝BC，所以四边形 ABCD 为正方形，故 AC⊥BD.

又因为 BB1⊥平面 ABCD，

于是 AC⊥BB1.

又BD∩BB1＝B，

所以 AC⊥平面 BB1D1D.

由于 EF⊂平面 BB1D1D，所以 EF⊥AC.

(2)如图，在棱 AA1上取点 G，使得 AG＝2GA1，连接 GD1，FC1，FG.

因为 ED1＝DD1，AG＝AA1，DD1綊AA1，

所以 ED1綊AG，于是四边形 ED1GA 为平行四边形，

故AE∥GD1.

因为 B1F＝BB1，A1G＝AA1，BB1綊AA1，所以 B1FGA1是平行四边形，所以 FG 綊A1B1，所以 FG

綊C1D1，四边形 FGD1C1为平行四边形，故 GD1∥FC1.

于是 AE∥FC1.所以 A，E，F，C1四点共面，即点 C1在平面 AEF 内.

3.(2021·全国乙卷)如图，四棱锥 P－ABCD 的底面是矩形，PD⊥底面 ABCD，M为BC 的中点，

且PB⊥AM.

(1)证明：平面 PAM⊥平面 PBD；

(2)若PD＝DC＝1，求四棱锥 P－ABCD 的体积.

(1)证明　因为 PD⊥底面 ABCD，AM⊂底面 ABCD，

所以 PD⊥AM.

又因为 PB⊥AM，且 PD，PB⊂平面 PBD，且 PD∩PB＝P，

所以 AM⊥平面 PBD.

又因为 AM⊂平面 PAM，

所以平面 PAM⊥平面 PBD.

(2)解　因为 PD＝DC＝1，所以 AB＝1，

设BC＝AD＝2a，则 BM＝a，

由(1)得AM⊥平面 PBD，则 AM⊥BD，

所以∠DAM＋∠ADB＝90°，

又因为四边形 ABCD 为矩形，

所以∠DAM＋∠BAM＝∠BAD＝90°，

所以∠ADB＝∠BAM，

又因为∠DAB＝∠ABM＝90°，

所以△DAB∽△ABM，

所以＝，即＝，

所以 a＝，则 BC＝AD＝2a＝，

所以四棱锥 P－ABCD 的体积为 V＝×1××1＝.

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