专题07立体几何线面位置关系（测）【解析版】（理科）第一篇热点、难点突破篇-《2022年高考理科数学二轮复习讲练测》（全国课标版）

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专题 07　立体几何线面位置关系—测

【满分：150 分时间：120 分钟】

一、单项选择题（12*5=60 分）

1.设α，β为两个平面，则 α∥β的必要不充分条件是(　　)

A.α内存在两条相交直线与 β内两条相交直线平行

B.α内有两条相交直线与 β平行

C.α，β平行于同一条直线

D.α，β垂直于同一条直线

答案　C

解析　对于 A，α内存在两条相交直线与 β内两条相交直线平行能推出 α∥β，排除 A.

对于 B，α内有两条相交直线与 β平行能推出 α∥β，排除 B.

对于 C，α，β平行于同一条直线，则 α与β相交或 α∥β，而由 α∥β可以得到 α，β平行于同一条

直线，C正确.

对于 D，α，β垂直于同一直线，则 α∥β，排除 D.

2.已知 α，β是两个平面，m，n是两条直线，则下列命题中错误的是(　　)

A.如果 m⊥n，m⊥α，n⊥β，那么 α⊥β

B.如果 m⊂α，α∥β，那么 m∥β

C.如果 α∩β＝l，m∥α，m∥β，那么 m∥l

D.如果 m⊥n，m⊥α，n∥β，那么 α⊥β

答案　D

解析　对于 A，如果 m⊥n，m⊥α，则 n∥α或n⊂α，因为 n⊥β，则 α⊥β，故正确；对于 B，如

果m⊂α，α∥β，那么 m与β无公共点，则 m∥β，故正确；对于 C，如果 α∩β＝

l，m∥α，m∥β，则 m∥l，故正确；对于 D，如果 m⊥n，m⊥α，n∥β，那么 α与β的关系不确

定，故错误.

3.(2021·全国乙卷)在正方体 ABCD－A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线 PB 与AD1所成的角

为(　　)

A. B. C. D.

答案　D

解析　法一　如图，连接 C1P，因为 ABCD－A1B1C1D1是正方体，且 P为B1D1的中点，所以

C1P⊥B1D1，又 C1P⊥BB1，B1D1∩BB1＝B1，B1D1，BB1⊂平面 B1BP，所以 C1P⊥平面 B1BP.又

BP⊂平面 B1BP，所以有 C1P⊥BP.连接 BC1，则 AD1∥BC1，所以∠PBC1为直线 PB 与AD1所成的

角.设正方体 ABCD－A1B1C1D1的棱长为 2，则在 Rt△C1PB 中，C1P＝B1D1＝， BC1＝2，sin

∠PBC1＝＝，

所以∠PBC1＝.故选 D.

法二　如图，连接 BC1，A1B，A1P，PC1，则易知 AD1∥BC1，所以直线 PB 与AD1所成的角等于

直线 PB 与BC1所成的角.由P为正方形 A1B1C1D1的对角线 B1D1的中点，知 A1，P，C1三点共线，

且P为A1C1的中点.易知 A1B＝BC1＝A1C1，所以△A1BC1为等边三角形，所以∠A1BC1＝，又 P为

A1C1的中点，所以可得∠PBC1＝∠A1BC1＝，故直线 PB 与AD1所成的角为.故选 D.

4.已知正方体 ABCD－A1B1C1D1的体积为 16，点 P在底面 A1B1C1D1上且 A1，C到P的距离分别为

2，2，则直线 CP 与平面 BDD1B1所成角的正切值为(　　)

A. B. C. D.

答案　A

解析　易知 AB＝2，连接 C1P.

在Rt△CC1P中，计算 C1P＝＝2，

又A1P＝2，A1C1＝4，

所以 P是A1C1的中点.

连接 AC 与BD 交于点 O，并连接 OP，易证 AC⊥平面 BDD1B1，直线 CP 在平面 BDD1B1内的射影

是OP，

所以∠CPO 就是直线 CP 与平面 BDD1B1所成的角.

在Rt△CPO 中，tan ∠CPO＝＝.

5.已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面 α所成的角都相等，则 α截此正方体所得截面

面积的最大值为(　　)

A. B. C. D.

答案　A

解析　如图，依题意，平面 α与棱 BA，BC，BB1所在直线所成角都相等，容易得到平面 AB1C符

合题意，进而所有平行于平面 AB1C的平面均符合题意.

由对称性，知过正方体 ABCD－A1B1C1D1中心的平面面积应取最大值，此时截面为正六边形

EFGHIJ.

正六边形 EFGHIJ 的边长为，将该正六边形分成 6个边长为的正三角形.

故其面积为 6××＝.

6..已知两条不重合的直线 m,n和两个不重合的平面 α,β,有下列命题:

①若m⊥n,m⊥α,则n∥α;

②若m⊥α,n⊥β,m∥n,则α∥β;

③若m,n是两条异面直线,m⊂α,n⊂β,m∥β,n∥α,则α∥β;

④若α⊥β,α∩β=m,n⊂β,n⊥m,则n⊥α.

其中真命题的个数是(

)

A.1 B.2 C.3 D.4

答案:C

解析:①若m⊥n,m⊥α,则n可能在平面 α内,故①错误;

②∵m⊥α,m∥n,∴n⊥α.

又n⊥β,∴α∥β,故②正确;

③过直线 m作平面 γ交平面 β于直线 c,

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