专题07 圆锥曲线中的定点、定值问题-直击2021年高考中的圆锥曲线问题（理科数学）

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专题 07 圆锥曲线中的定点、定值问题

一、圆锥曲线中的定点与定值问题

（1）解决定点问题的关键就是建立直线系或者曲线系方程，要注意选用合适的参数表达直线系或

者曲线系方程，如果是双参数，要注意这两个参数之间的相互关系.

（2）解决圆锥曲线中的定值问题的基本思路很明确，即定值问题必然是在变化中所表现出来的不

变的量，那么就可以用变化的量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，其中不受变化的量

所影响的一个值就是所要求的定值，解决这类问题的关键就是引进适当的参数表示直线方程、数量

积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.

（3）解决圆锥曲线中的定点与定值问题时，注意对相关直线的斜率进行讨论.

技巧 1 圆锥曲线中的定点问题

例1、在直角坐标系中，已知一动圆经过点且在轴上截得的弦长为 4，设动圆圆心的

轨迹为曲线．

（1）求曲线的方程；

（2）过点作互相垂直的两条直线，，与曲线交于，两点，与曲线交于

，两点，线段，的中点分别为，，求证：直线过定点，并求出定点的

坐标．

【解析】（1）设圆心，依题意有，即得，

∴曲线的方程为．

（2）易知直线，的斜率存在且不为 0，设直线的斜率为，，，

则直线：，，

由得，

，

，，∴ ．

同理得．

当或时，直线的方程为；

当且时，直线的斜率为，

∴直线的方程为，即，

∴直线过定点，其坐标为．

综上所述，直线过定点，其坐标为．

技巧 2 圆锥曲线中的定值问题

例2、已知点是椭圆上的一点，椭圆的离心率与双曲线

的离心率互为倒数，斜率为直线交椭圆于，两点，且，，三点互

不重合.

（1）求椭圆的方程；

（2）若，，分别为直线，的斜率，求证：为定值.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）设椭圆的焦距为 2c，根据题中条件，得出椭圆的离心率，再由点代入

椭圆方程，根据，即可求出，从而可得椭圆方程；

（2）设直线的方程为，根据题意得，设，，联立直

线与椭圆方程，根据韦达定理，结合斜率计算公式，直接计算，即可得出结果.

【详解】

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