专题07 外接球-备战2023年高考数学母题题源解密（新高考卷）（解析版）

3.0 envi 2025-03-06 13 4 1.53MB 20 页 3知币
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专题 07 外接球
【母题来源】2022 年新高考 I卷
【母题题文】已知正四棱锥的侧棱长为
l
，其各顶点都在同一个球面上，若该球的体积为
36 π
，且
3≤l ≤ 3❑
√
3
，则该正四棱锥体积的取值范围是
¿

¿
A.
[18 ,81
4]
B.
[27
4,81
4]
C.
D.
[18,27]
【答案】
C
【分析】
本题考查了球的内接问题，涉及棱锥的体积、球的体积、基本不等式、导数等知识，属较难题．
【解答】
解：方法
(1)
：
设正四棱锥
P−ABCD
的高为
P O1=h
，底面边长为
a
，球心为
O
，由已知易得球半径为
R=3
，
所以
¿
，因为
3≤l ≤ 3❑
√
3⇒9≤6h ≤27 ⇒3
2≤ h≤ 9
2
，
故所以
V=1
3a2h=2
3(6h−h2)h=1
3(12−2h)h ×h ≤ 1
3׿
当且仅当
h=4
取到
¿
，
当
h=3
2
时，得
a=3❑
√
3
❑
√
2
，则
Vmin=1
3a2h=1
3¿
当
l=3❑
√
3
时，球心在正四棱锥高线上，此时
h=3
2+3=9
2
，
❑
√
2
2a=3❑
√
3
2
⇒a=3❑
√
3
❑
√
2
，正四棱锥体积
V1=1
3a2h=1
3¿
，故该正四棱锥体积的取值范围是
[27
4,64
3].
方法
(2):
由方法
(1)
中知
V=2
3(6−h)h2
，
3
2≤ h ≤ 9
2
，求导
V '=2(4−h)h
，所以
V=2
3(6−h)h2
在
[3
2,4]
上
单调递增，在
[4,9
2]
上单调递减，所以
Vmax=V(4)= 64
3
，
Vmin=min {V(3
2), V (9
2)}=V(3
2)=27
4
，
故该正四棱锥体积的取值范围是
[27
4,64
3].

【母题来源】2022 年新高考 II 卷
【母题题文】已知正三棱台的高为
1
，上下底面的边长分别为
3❑
√
3
和
4❑
√
3
，其顶点都在同一球面上，则该
球的表面积为
()
A.
100 π
B.
128 π
C.
144 π
D.
192 π
【答案】
A
【分析】
本题主要考查了正三棱台和外接球的关系应用，球体表面积公式的应用．
【解答】
解：由题意如图所示，上底面所在平面截球所得圆的半径是
O1A1=3
，
下底面所在平面截球所得圆的半径是
O2A2=4
，
则轴截面中由几何知识可得
❑
√
R2−32+❑
√
R2−42=1
，解得
R2=25
，
因此球的表面积是
S=4π R2=4π⋅25=100 π
．
【命题意图】
外接球，是立体几何考察点的难点之一，也是能体现出知识点综合应用的考点一。通过考察球与棱柱，棱
锥，圆柱圆锥，以及组合体的内接外接关系，以及空间几何体的机构关系，考察表面积，体积，二面角等
等数学计算。考察数形结合思想和运算能力，考察空间想象能力，考察逻辑推导素养。
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