专题07 立体几何的向量方法- 2022届高考数学二模试题分类汇编（新高考卷）（解析版）

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《专题 7 立体几何的向量方法- 2022 届高考数学二模试题分类汇编
（新高考卷）》
1．【利用空间向量判定位置关系】（2022·陕西宝鸡·一模）如图，四棱锥 的底
面为正方形， 平面 ， 是 的中点， ．
(1)求证： 平面 ；
(2)设直线 与平面 交于 ，求证： ．
【解析】 (1)以 为原点， 所在的直线为 轴的正方向建立空间直角坐
标系，
设 ，则 ， ， ， ，
，
，设平面 的法向量为 ，
所以 即 ，令 ，则 ，
则 ，所以 ，即 平面 .
(2)
连接 相交于点 ，则 点是 中点，连接 ，
因为 平面 ，故 且 平面 ，
而 平面 ，故 平面 ，故 平面 平面 ，
所以 的交点就是 ，连接 ，
又 是 的中点，所以 ， ，
所以 ，所以 ，即 .
2．【利用空间向量判定位置关系】（2022·江苏·高三模拟）如图，在正三棱柱
（侧棱垂直于底面，且底面三角形 是等边三角形）中， ， 、
、 分别是 ， ， 的中点．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)在线段 上是否存在一点 使 平面 ？若存在，确定点 的位置；若不存在，
也请说明理由．
【解析】（1）证明： 、 、 分别是 ， ， 的中点．
，四边形 为平行四边形，可得 ，
因为 平面 ； 平面 ；
平面 ；
同理可得 平面 ；
又 ， 平面 ，
平面 平面 ．
(2)
假设在线段 上存在一点 使 平面 ．
四边形 是正方形，因此点 为点 ．
不妨取 ，如图建立空间直角坐标系，则 ， ， ，
，
， ，
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