专题07 导数的应用（解析版）-2022届高考数学一模试题分类汇编（新高考卷）

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07 导数的应用【2022 届新高考一模试题分类汇编】
一、解答题
1．（2022·全国·模拟预测）已知函数 ， .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 ，求证： .
【解析】 (1)因为 ，
所以
①若 ，则 ，所以当 时， ， 单调递减，当
时， ， 单调递增
②若 ，则 ，所以当 时， ， 单调递减，当
或 时， ， 单调递增；
③若 ，则 ， 在 上单调递增；
④若 ，则 ，所以当 时， ， 单调递减，当
或 时， ， 单调递增.
综上，当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 ， 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 ， 上单调递增.
(2)
因为 ，所以 ，即
，
设
则 ，易知 在 上单调递增
因为 ，所以 ，
所以存在 ，使得
所以 ， 在 上单调递减，在 上单调递增
所以
设 ，则 ， 在 上单调递增，所以
所以 ，即 .
2．（2022·四川泸州·二模（文））已知函数 .
(1)求证： ；
(2)若函数 无零点，求 a的取值范围.
【解析】 (1) ，
则当 时， ，当 时， ，
故 在 上为增函数，在 上减函数，
故 即 .
(2) ，故 ，
当 时， 在定义域上无零点;
当 时， ，故 ，
所以当 时， ，当 时， ，
故 在 上为增函数，在 上减函数，
因为函数 无零点，故 ，即 ；
当 时，因为 ，所以 ，
即 ，
所以 在定义域上无零点.
综上， 的取值范围是 .
3．（2022·全国·模拟预测）已知函数 ，其中 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 在区间 内恒成立，求实数 a的取值范围.
【解析】 (1) 的定义域为 ，
.
当 时， ， 在 上单调递减；
当 时，由 ，有 ，
此时，当 时， ， 单调递减；
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