专题07 【大题限时练7】-备战2022年江苏高考数学满分限时题集（解析版）

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专题 07 大题限时练 7

1．在

ABC

中，

90BAC  

，点

在边

上，满足

3AB BD

．

（1）若

30BAD  

，求

C

；

（2）若

2CD BD

，

4AD 

，求

ABC

的面积．

【答案】（1）

( )

3 2 6 3

C ADC DAC

   

 

         

；（2）

1 1 3 6 4 3 12 2

2 2

ABC

S AB AC



     

【详解】（1）设

BD a

，则

3AB a

，

ABD

中，由正弦定理得，

sin sin

BD AB

BAD BDA



 

，

即

1sin

a a

BDA



，

所以

sin 2

BDA 

，

由题意得

BDA

为钝角，

所以

BDA



 

，

ADC



 

，

( )

3 2 6 3

C ADC DAC

   

 

         

，

（2）设

BD a

，则

3AB a

，

2CD a

，

ABC

中，

2 2 2 2

(3 ) ( 3 ) 6AC BC AB a a a    

，

所以

6 6

cos 3 3

 

，

2 2 2 2 2 2

6 9 3 6

cos 2 3

2 6 3

AC BC AB a a a

CAC BC a a

   

  

 

，

解得

2 2a

，

所以

4 3AC 

，

2 6AB 

，

所以

1 1 3 6 4 3 12 2

2 2

ABC

S AB AC



     

．

2．已知等比数列

{ }

的各项均为整数，公比为

，且

| | 1q

，数列

{ }

中有连续四项在集合

{ 96M 

，

24

，36，48，

192}

中．

（1）求

，并写出数列

{ }

的一个通项公式；

（2）设数列

{ }

的前

项和为

，证明：数列

{ }

中的任意连续三项按适当顺序排列后，可以成等差数

列．

【答案】（1）

12 ( 2)

a  

；（2）见解析

【详解】（1）等比数列

{ }

的各项均为整数，公比为

，且

| | 1q

，数列

{ }

中有连续四项在集合

{ 96M 

，

24

，36，48，

192}

中，

根据观察得知：

{ 96M 

，

24

，36，48，

192}

中的

24

，48，

96

，192，这四项构成公比为

2

的等比

数列；

所以

12 ( 2)

a  

．

证明：（2）由（1）的通项公式

12 ( 2)

a  

，

根据等比数列的前

项和公式：

1 1 1 1

( 2) ( 2)

1 2 3 3

a a a a

S  

    



，

所以

1 1

( 2)

3 3

a a



   

，

2 1

1 1 1 1

2 2

( 2) ( 2)

3 3 3 3

n n

a a a a

 



       

，

则

1 1

1 2

2 2 ( 2)

3 3

n n

a a

S S

 

    

，

1 1

2 2

2 ( 2)

3 3

a a

S   

，

故

1 2

n n n

S S S

 

 

，

故

S

，



，构成等差数列；

3．如图所示，在三棱柱

1 1 1

ABC A B C

中，

AB BC

，点

在平面

ABC

的射影为线段

的中点，侧面

1 1

AA C C

是菱形，过点

、

，

的平面



与棱

1 1

A C

交于点

．

（1）在图中作出截面

BB ED

，并证明四边形

BB ED

为矩形；

（2）若

2AB AC 

，求

与平面

1 1

ABB A

所成角的正弦值．

【答案】（1）见解析；（2）

| | 2 3 10

sin | cos , | 5

| || | 6 5

n CB

n CB n CB





     











【详解】（1）四边形

BB ED

为矩形，证明如下：

取

1 1

A C

中点为

，连接

B E

，

，在三棱柱

1 1 1

ABC A B C

中，侧面

1 1

A ABB

为平行四边形，所以

1 1

/ /B B A A

，

因为

B B 



平面

1 1

A ACC

，

A A 

平面

1 1

A ACC

，所以

/ /B B

平面

1 1

A ACC

．

因为

B B 

平面

BB D

，且平面

BB D



平面

1 1

A ACC DE

，所以

/ /B B DE

．

因为在三棱柱

1 1 1

ABC A B C

中，平面

/ /ABC

平面

1 1 1

ABC

，平面

BB D



平面

ABC BD

，平面

BB D



平

面

1 1 1 1

A B C B E

，

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