专题6-1 数列递推求通项15类归纳-2022年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）（解析版）

3.0 envi 2025-03-06 4 4 2.16MB 31 页 3知币

专题 6-1 数列递推求通项 15 类归纳

一、热点题型归纳.........................................................................................................................................................1

【题型一】通过“累加法”学通项思想 1：基础型.....................................................................................1

【题型二】通过“累加法”学通项思想 2：换元型与同除型.....................................................................2

【题型三】通过“累加法”学通项思想 3：复杂“同除换元型”.............................................................4

【题型四】通过“累加法”学通项思想 4：累积法.....................................................................................5

【题型五】周期数列.........................................................................................................................................7

【题型六】构造二次等比数列型（待定系数型）........................................................................................8

【题型七】分式递推.........................................................................................................................................9

【题型八】构造二阶等差数列型..................................................................................................................10

【题型九】前 n项积型...................................................................................................................................11

【题型十】特殊通项 1：“和”型求通项...................................................................................................13

【题型十一】特殊通项 2：正负相间讨论型...................................................................................................14

【题型十二】特殊通项 3：奇偶讨论型...........................................................................................................15

【题型十三】特殊通项 4：“求和公式换元”型...........................................................................................18

【题型十四】特殊通项 5：因式分解型...........................................................................................................20

【题型十五】特殊数列 6：其他几类特殊数列求通项...................................................................................21

【题型十六】压轴小题.......................................................................................................................................24

二、最新模考题组练...................................................................................................................................................26

说明：为了达到更有针对性的复习，大题只提供求通项那一问的解答，略去后续非通项的解答

【题型一】通过“累加法”学通项思想 1：基础型

【典例分析】

已知数列中，已知，，则等于（）

A．B．C．D．

【答案】B

【详解】由得：，，……，，

，各式相加可得：，

又，， .故选：B.

【提分秘籍】

基本规律

数列求通项，可以借助对“形形色色”的累加法研究学习，积累各类通项“变化”规律。

1.“等差”累加法，如典例分析

2.“等比累加法”，如变式 1

3.“裂项累加法”，如变式 2

4.无理根式裂项累加法，如变式 3

【变式演练】

1.已知数列满足，，则（）

A．510 B．512 C．1022 D．1024

【答案】B

【详解】由 ,得，，，…

，以上各式相加得，，

所以，所以 .故选：B.

2.已知数列{an}满足，，nN∈*，求数列的通项公式 an.

【答案】；

【详解】（1），

，

将以上个式子相加，

得

，即 .

又当 n=1时，也符合上式， .

3.数列

{

}

中，

a1=0, an+1−an=1

❑

√

n+❑

√

n+1

且

an=9

，则

n=¿

_________

【答案】100

【详解】∵

an+1−an=1

❑

√

n−❑

√

n+1=❑

√

n+1−❑

√

，∴

an=an−an−1+an−1−an−2+⋯+a2−a1+a1=❑

√

n−❑

√

n−1+❑

√

n−1−❑

√

n−2+⋯+❑

√

2−❑

√

1+0=❑

√

n−1

∵

=9，即

❑

√

n−1

=9，解得 n=100 故填：100

【题型二】通过“累加法”学通项思想 2：换元型与同除型

【典例分析】

已知数列满足：，，，则下列说法正确的是（）

A． B． C．数列的最小项为和 D．数列的最大项为和

【答案】C

【详解】

令，则，又，所以，，，，

，

所以累加得，所以，

所以，

所以当时，，当时，，即，当时，，

即，所以数列的最小项为和，故选：C.

【提分秘籍】

基本规律

换元型，是许多复杂通项的基本变换之一

1.换元等差累加法，如典例分析

2.换元对数相消累加法。如变式 1

3.同除换元等比累加法，如变式 2

4.同除换元裂项累加法，如变式 3

【变式演练】

1.在数列中，，，则（）

A．B．C．D．

【答案】D

【详解】由题意得，，则， …，

，

由累加法得，，即，

则，所以，故选：D

2.已知数列满足， .

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列的前项和为，求满足的所有正整数的取值集合.

【答案】（1）；（2）.

【详解】（1）因为，所以 .因为，，

…，，所以，于是

当时，，所以 .

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