专题6.2 求数列的通项公式（解析版）-【高考总复习】2023年高考数学满分训练必做题：基础+提升2000题（新高考专用）

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专题 6.2 求数列的通项公式

考点 6.2.1 等差、等比公式法

【909】．（2021·全国·高考真题·★★★）

记是公差不为 0的等差数列的前 n项和，若．

（1）求数列的通项公式；

（2）求使成立的 n的最小值．

【答案】(1) ；(2)7.

【解析】

【分析】

(1)由题意首先求得的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；

(2)首先求得前 n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定 n的最小值.

【详解】

(1)由等差数列的性质可得：，则：，

设等差数列的公差为，从而有：，

，

从而：，由于公差不为零，故：，

数列的通项公式为： .

(2)由数列的通项公式可得：，则：，

则不等式即：，整理可得：，

解得：或，又为正整数，故的最小值为 .

【点睛】

等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关

公式并能灵活运用.

【910】．（2011·全国·高考真题·★★★★）

等比数列的各项均为正数，且 .

（1）求数列的通项公式；

（2）设 bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列的前项和 .

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）根据题意列出方程组，求出首项与公比，即可求出等比数列的通项公式即可；

（2）由 an＝化简 bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，可得到 bn 的通项公式，求出的通项公式，利用裂

项相消法求和.

【详解】

（1）设数列{an}的公比为 q,

由＝9a2a6得＝9 ,

所以 q2＝.由条件可知 q＞0,故q＝.

由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1,所以 a1＝.

故数列{an}的通项公式为 an＝.

（2）bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－（1＋2＋…＋n）＝－ .

故.

所以数列的前 n项和为

【911】．（2015·天津·高考真题·★★★）

已知数列满足，且成等差数列.

（Ⅰ）求的值和的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前项和.

【答案】（Ⅰ） ; （Ⅱ） .

【解析】

【详解】

（Ⅰ）由已知，有，即，

所以，又因为，故，由，得，

当时，，

所以的通项公式为

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，设数列的前项和为，则

，

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