专题06几何体表面积体积与球切、接的问题（测）【解析版】（理科）第一篇 热点、难点突破篇-《2022年高考理科数学二轮复习讲练测》（全国课标版）

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专题 06 表面积体积与球体切接问题单元—测
【满分：150 分 时间：120 分钟】
一、单项选择题（12*5=60 分）
1.图1所示的是一个棱长为 2的正方体被削去一个角后所得到的几何体的直观图，其中 DD1＝
1，AB＝BC＝AA1＝2.若此几何体的俯视图如图 2所示，则可以作为其正视图的是(　　)
答案　C
解析　由题意，根据该几何体的直观图和俯视图知，其正视图的长应为底面正方形的对角线长、
宽为正方体的棱长，故排除 B，D；在三视图中看不见的棱用虚线表示，故排除 A，选 C.
2.(2021·新高考Ⅰ卷)已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为 (
)
A.2 B.2 C.4 D.4
答案　B
解析　设圆锥的母线长为 l，因为该圆锥的底面半径为，侧面展开图为一个半圆，所以 2π×＝
πl，解得 l＝2.故选 B.
3.在中国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直棱柱称为 “堑堵”.已知某
“堑堵”的正视图和俯视图如图所示，则该“堑堵”的侧视图的面积为(　　)
A.18 B.18 C.18 D.
答案　C
解析　在俯视图 Rt△ABC 中，作 AH⊥BC 交于 H.
由三视图的意义，
得BH＝6，HC＝3，
根据射影定理，AH2＝BH·HC，∴AH＝3.
易知该“堑堵”的侧视图是矩形，长为 6、宽为 AH＝3.故侧视图的面积 S＝6×3＝18.
4.(2021·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是(　　)
A. B.3 C. D.3
答案　A
解析　法一　由三视图可知，该几何体是一个底面为等腰梯形的直四棱柱，其中底面等腰梯形的
底边长分别为，2，高为，该四棱柱的高为 1，所以该几何体的体积 V＝×(＋2)××1＝.故选 A.
法二　由三视图可知，该几何体是由底面为等腰直角三角形(腰长为 2)的直三棱柱截去一个底面
为等腰直角三角形(腰长为 1)的直三棱柱后得到的，所以该几何体的体积 V＝×22×1－×12×1＝.
故选 A.
5.若用平行于某圆锥底面的平面去截该圆锥，得到的小圆锥与圆台的母线长相等，则该小圆锥与
该圆台的侧面积的比值为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　设该圆锥的底面半径为 r，母线长为 2l，则该圆锥的侧面积 S＝πr×2l＝2πrl.
截得的小圆锥的底面半径为，母线长为 l，其侧面积 S1＝π××l＝πrl，从而圆台的侧面积 S2＝S－
S1＝2πrl－πrl＝πrl.
故两者侧面积的比值为＝＝.
6.(2021·合肥质检)若两个正四面体的顶点都是一个棱长为 1的正方体的顶点，则这两个正四面体
公共部分的体积为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　如图所示，以正方体的顶点为顶点的两个不同的正四面体，
它们的公共区域是一个以正方体的六个面的中心为顶点的正八面体，
它的体积 V＝××1＝.
7.(2021·哈尔滨模拟)在四面体 ABCD 中，AB＝CD＝2，BC＝1，∠BCD＝，且 AB⊥面 BCD，则
四面体 ABCD 的外接球表面积为(　　)
A.36π B.9π C. D.
答案　D
解析　根据题意，构造一个直三棱柱如图所示，
O1，O2分别为上下底面外接圆的圆心，
根据球的性质，球心 O必为 O1O2的中点，则球的半径 R＝OB.
设△BCD 的外接圆半径为 r，
在△BCD 中，BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos ＝7，
∴BD＝，由正弦定理得其外接圆半径
r＝＝，
则R2＝r2＋＝，
故球的表面积 S＝4πR2＝.
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