专题06 填空中档题-备战2022年新高考之湖南模拟题分类汇编（解析版）

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专题 06 填空中档题

1．（2021•湖南模拟）若过点的任意一条直线都不与曲线相切，则的取值范围是

．

【答案】

【详解】设点为曲线上任意一点，

，

则曲线在点处的切线的方程为．

据题意，切线不经过点，则关于的方程，即无实根，

△，解得，

的取值范围是．

故答案为：．

2．（2021•湖南模拟）已知点，，，，如果直线，的斜率

之积为，记，，则　　．

【答案】

【详解】由题意

得，可见，为两个焦点，如图示：

，

故答案为：．

3．（2021•湖南模拟）过双曲线的焦点作以焦点为圆心的圆的切线，其中一

个切点为，△ 的面积为，其中为半焦距，线段恰好被双曲线的一条渐近线平分，则双

曲线的离心率为　　．

【答案】

【详解】由题意可得，

设，则，

由△ 的面积为，可得，

解得，

线段恰好被双曲线的一条渐近线平分，

由三角形的中位线定理可得垂直于渐近线，

可得到渐近线的距离为，

进而得到到渐近线的距离为，

所以，则，

故答案为：．

4．（2021•湖南模拟）已知正数，满足，则的最小值为　　，的最小值

为　　．

【答案】1，

【详解】由题意可得，则（当且仅当时，等号成立），

即的最小值为 1．因为，所以，

所以，

当且仅当时，等号成立．

故答案为：1，．

5．（2021• 湖南模拟）直线与圆相交于，两点，则

的最小值为　　；此时　　．

【答案】；

【详解】直线恒过定点，

当圆心与点的连线与直线垂直时，弦长最小，

圆心与点间的距离为，半径为 3，

弦长的最小值为．

圆心与点连线的斜率为，此时直线的斜率为 1，

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