专题06 函数与导数：导数及其应用-备战2023年高考数学母题题源解密（新高考卷）（解析版）

3.0 envi 2025-03-06 4 4 1.27MB 21 页 3知币
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专题 06 函数与导数：导数及其应用
【母题来源】2022 年新高考 I卷
【母题题文】已知函数
f(x)=x3−x+1
，则
¿

¿
A.
f(x)
有两个极值点
B.
f(x)
有三个零点
C.点
(0,1)
是曲线
y=f(x)
的对称中心
D.直线
是曲线
y=f(x)
的切线
【答案】
AC
【分析】
本题考查利用导数研究函数的极值与零点以及曲线上一点的切线问题，函数的对称性，考查了运算能力以
及数形结合思想，属于中档题．
【解答】
解：
f(x)=x3−x+1⇒f '(x)=3x2−1
，令
f ' (x)=0
得：
x=±
❑
√
3
3
，
f ' (x)>0⇒x←❑
√
3
3
或
x>❑
√
3
3
；
f ' (x)<0⇒−❑
√
3
3<x<❑
√
3
3
，
所以
f(x)
在
(−∞,−❑
√
3
3)
上单调递增，在
(−❑
√
3
3,
❑
√
3
3)
上单调递减，在
(❑
√
3
3,+∞)
上单调递增，
所以
f(x)
有两个极值点
¿
为极大值点，
x=❑
√
3
3
为极小值点
¿
，故A正确
;
又
f(−❑
√
3
3)=−❑
√
3
9−(−❑
√
3
3)+1=1+2❑
√
3
9>0
，
f(❑
√
3
3)=❑
√
3
9−❑
√
3
3+1=1−2❑
√
3
9>0
，
所以
f(x)
仅有
1
个零点
¿
如图所示
¿
，故B错
;
又
f(−x)=−x3+x+1⇒f(−x)+f(x)=2
，所以
f(x)
关于
(0,1)
对称，故C正确
;
对于
D
选项，设切点
P(x0, y0)
，在
P
处的切线为
y−(x0
3−x0+1)=(3x0
2−1)(x−x0)
，
即
y=(3x0
2−1)x−2x0
3+1
，
若
y=2x
是其切线，则
{
3x0
2−1=2
−2x0
3+1=0
，方程组无解，所以
D
错．
【母题来源】2022 年新高考 II 卷
【母题题文】曲线
y=ln∨x∨¿
经过坐标原点的两条切线方程分别为，．
【答案】
y=x
e

y=−x
e
【分析】
本题考查函数切线问题，设切点坐标，表示出切线方程，带入坐标原点，求出切点的横坐标，即可求出切
线方程，为一般题．
【解答】
解：当
x>0
时，点
(x1,ln x1)(x1>0)
上的切线为
y−ln x1=1
x1
(x−x1).
若该切线经过原点，则
ln x1−1=0
，解得
x=e
，
此的切线方程为
y=x
e
．
当
x<0
时，点
(x2,ln(−x2))(x2<0)
上的切线为
y−ln
(
−x2
)
=1
x2
(
x−x2
)
．
若该切线经过原点，则
ln (−x2)−1=0
，解得
x=−e
，
此时切线方程为
y=−x
e
．
【命题意图】
考察导数的概念，考察导数的几何意义，考察导数求导法则求导公式，导数的应用，考察数学运算和逻辑
推导素养，考察分类讨论思想，函数和方程思想，化归与转化的数学思想，分析问题与解决问题的能力。
【命题方向】
导数在高考数学中，是作为应用工具来考察的。常规考察，要考察求导公式，求导法则与导数的几何意义，
涉及到求切线，导数计算，和求导法则的应用。在应用层次上，要考察导数的极值，单调性，最值等应用，
需要理解导数与原函数之间的关系。深度考察，则涉及到求函数零点或者零点个数，零点范围，比大小或
者证明不等式，恒成立或者存在型问题求参等等，常常和函数单调性，数列，不等式等等知识有机结合进
行综合考察。
【得分要点】
一、导数求切线思维
以上是“在点”与“过点”的区别，授课时可参考下图
二、恒成立求参经验思维
一般地，已知函数 ，
（1）若 ， ，总有 成立，故 ；
（2）若 ， ，有 成立，故 ；
（3）若 ， ，有 成立，故 ；
（4）若 ， ，有 ，则 的值域是 值域的子集 ．
1．（2022·四川成都·高三阶段练习（文））若函数 在区间 上单调递增，则实数 k
的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
利用函数 在区间 上的导函数为非负数，列不等式，解不等式即可求得 的取值范围.
【详解】
专题06 函数与导数：导数及其应用-备战2023年高考数学母题题源解密（新高考卷）（解析版）.docx

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