专题06 【大题限时练6】-备战2022年江苏高考数学满分限时题集（解析版）

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专题 06 大题限时练 6

1．在①

3b a

；②

3cosa B

；③

sin 1a C 

这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题中的三

角形存在，求该三角形面积的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．

问题：是否存在

ABC

，它的内角

，

的对边分别为

，

，且

sin sin( ) 3 sinB A C C  

，

3c

，_____？

【答案】见解析

【详解】在

ABC

中，

( )B A C



  

，所以

sin sin( )B A C 

．

因为

sin sin( ) 3 sinB A C C  

，所以

sin( ) sin( ) 3 sinA C A C C   

，

即

sin cos cos sin (sin cos cos sin ) 3 sinA C A C A C A C C   

，

所以

2cos sin 3 sinA C C

，

在

ABC

中，

sin 0C

，所以

cos 2

A

．

因为



 

，所以





．

选择①：

方法

因为





，所以

2 2 2 2

2 cos 9 3 3a b c bc A b b     

．

又因为

3b a

，所以

2 9 3 27 0b b  

，解得

3 3b

，或

3 3

b

，

此时

ABC

存在，

当

3 3b

时，

ABC

的面积为

1 1 1 9 3

sin 3 3 3

2 2 2 4

ABC

S bc A



     

．

当

3 3

b

时，

ABC

的面积为

1 1 3 3 1 9 3

sin 3

2 2 2 2 8

ABC

S bc A

     

．

方法

2 :

因为

3b a

，由正弦定理，得

sin 3 sin 3 sin 6 2

B A



  

．

因为



 

，所以





，或





，此时

ABC

存在，

当





时，





，所以

3 3

cos 2

b c A 

，

所以

ABC

的面积为

1 1 3 3 1 9 3

sin 3

2 2 2 2 8

ABC

S bc A

     

．

当





时，





，所以

sin 3 3

sin

c B

 

，

所以

ABC

的面积为

1 1 1 9 3

sin 3 3 3

2 2 2 4

ABC

S bc A



     

．

选择②：

因为

3cosa B

，所以

2 9 2

a b

 

 

，得

2 2

9a b 

，

所以





，此时

ABC

存在，

因为





，所以

3 3

3 cos 6 2



  

，

3 sin 6 2



  

，

所以

ABC

的面积为

1 9 3

2 8

ABC

S ab



 

．

选择③：

由

sin sin

a c

A C



，得

sin sin 2

a C c A 

，

这与

sin 1a C 

矛盾，所以

ABC

不存在．

2．已知等比数列

{ }

的前

项和

S r 

，其中

为常数．

（1）求

的值；

（2）设

2(1 log )

n n

b a 

，若数列

{ }

中去掉数列

{ }

的项后余下的项按原来的顺序组成数列

{ }

，求

1 2 3 100

c c c c   

的值．

【答案】（1）

1r 

；（2）11302

【详解】（1）因为

S r 

，

所以当

1n

时，

1 1

2S a r  

．

当

2n

时，

2 1 2

4S a a r   

，故

2a

．

当

3n

时，

3 1 2 3

8S a a a r    

，故

4a

．

因为

{ }

是等比数列，所以

2 1 3

a a a

，化简得

2 1r 

，解得

1r 

，

此时

2 1

S 

．

当

2n…

时，

1 1

2 1 2 1 2

n n n

a S S

 



      

，

当

1n

时，

1 1

1a S 

，





，

所以

1r 

满足题意．

（2）因为





，所以

2(1 log ) 2

n n

b a n  

．

因为

1a

，

2 1

2a b 

，

3 2

4a b 

，

4 4

8a b 

，

5 8

16a b 

，

6 16

32a b 

，

7 32

64a b 

，

8 64

128a b 

，

9 128

256a b 

，

所以

1 2 3 100

c c c c   

1 2 3 107 2 3 4 5 6 7 8

( ) ( )b b b b a a a a a a a          

107 (2 214) 2(1 2 ) 11302

2 1 2

  

  



．

3．如图，在三棱台

1 1 1

ABC A B C

中，

AC A B

，

是

的中点，

A O 

平面

ABC

．

（1）求证：

AC BC

；

（2）若

1A O 

，

2 3AC 

，

1 1

2BC A B 

，求二面角

B BC A 

的大小．

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