专题5.3 平面向量与其它知识的综合应用（解析版）-【高考总复习】2023年高考数学满分训练必做题：基础+提升2000题（新高考专用）
专题 5.3 平面向量与其它知识的综合应用
【811】．（2016·四川·高考真题·★★★★）
在平面内，定点 A，B，C，D满足 = = , = = =–2，动点 P，M满足
=1，=，则 的最大值是
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【详解】
试题分析：甴已知易得 .以 为原点，直线 为 轴
建立平面直角坐标系，如图所示，则 设 由已知 ，得
，又
，它表示圆 上的点 与点 的距离的平方的 ，
，故选 B.
【考点】平面向量的数量积运算，向量的夹角，解析几何中与圆有关的最值问题
【名师点睛】本题考查平面向量的夹角与向量的模，由于结论是要求向量模的平方的最大值，因此我们要
把它用一个参数表示出来，解题时首先对条件进行化简变形，本题中得出 ，
且 ，因此我们采用解析法，即建立直角坐标系，写出点 的坐标，同时动点
的轨迹是圆，则 ，因此可用圆的性质得出最值．因此本题又考查了数形结合的
数学思想．
【812】．（2018·全国·专题练习·★★★★）
在矩形 ABCD 中，AB=1，AD=2，动点 P在以点 C为圆心且与 BD 相切的圆上．若 = + ，则 +
的最大值为
A．3 B．2 C．D．2
【答案】A
【解析】
【详解】
如图所示，建立平面直角坐标系.
设,
易得圆的半径 ，即圆 C的方程是 ，
，若满足 ，
则 ， ，所以 ，
设 ，即 ，点 在圆 上，
所以圆心 到直线 的距离 ，即 ，解得 ，
所以 的最大值是 3，即 的最大值是 3，故选 A.
【名师点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、
减或数乘运算.
（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量
的形式，再通过向量的运算来解决.
【813】．（2013·湖南·高考真题·★★★）
已知 是单位向量， .若向量 满足 （ ）
A．B．
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