专题5 立体几何中垂直的证明（原卷版）-2021年高考数学立体几何中必考知识专练
专题 5：立体几何中垂直的证明（原卷版）
一、直线与平面垂直
⑴ 定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面
垂直。
⑵ 判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
简记为：线线垂直，则线面垂直 .
符号：
例1．如图所示，A1A是圆柱的母线，AB 是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上异于 A,B
的任意一点，A1A=AB=2.求证:BC⊥平面 A1AC．
二.直线与平面垂直性质
性质Ⅰ：垂直于同一个平面的两条直线平行。
符号：
性质Ⅱ：垂直于同一直线的两平面平行
符号：
推论：如果两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．
符号语言：a∥b, a⊥
α，
⇒b⊥
α
例2．如图，在三棱锥 P-ABC 中， ，垂足为 D， 底面 ABC，垂足为 O,且O
在CD 上，求证： .
例3．已知三棱锥 中， ， .若平面 分别与棱
相交于点 且 平面 .
证明.
3．平面与平面垂直的判定
⑴ 定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
⑵ 判定定理：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。
简记为：线线垂直，则线面垂直 .
符号：
例4．已知 是圆的直径， 垂直圆所在的平面,是圆上任一点．求证:平面 ⊥
平面 .
4．平面与平面垂直性质
⑴ 定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
⑵ 判定定理：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。
简记为：线面面垂直，则面面垂直 . 符号：
推论：如果一个平面平行于另一个平面的一条垂线，则这个平面与另一个平面垂直。
例4．如图所示，在四棱锥 中，底面为直角梯形， ， ，
底面 ，且 ， 、 分别为 、 的中点.求证：
.
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