专题5 立体几何中垂直的证明（解析版）-2021年高考数学立体几何中必考知识专练
专题 5：立体几何中垂直的证明（解析版）
一、直线与平面垂直
⑴ 定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面
垂直。
⑵ 判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
简记为：线线垂直，则线面垂直 .
符号：
例1．如图所示，A1A是圆柱的母线，AB 是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上异于 A,B
的任意一点，A1A=AB=2.求证:BC⊥平面 A1AC．
【答案】详见解析.
【分析】
根据直线与平面垂直的判定定理可知,只需证明 与平面 内的两条相交直线垂直即
可,而 ,满足定理条件.
【详解】
证明:C是底面圆周上异于 A,B的任意一点，AB 是圆柱底面圆的直径， ,
平面 平面 , ,
平面 平面
平面 .
【点睛】
本题考查直线与平面垂直的判定,考查棱柱的性质,考查学生空间想象能力和推理论证能力,
属于中档题.
二.直线与平面垂直性质
性质Ⅰ：垂直于同一个平面的两条直线平行。
符号：
性质Ⅱ：垂直于同一直线的两平面平行
符号：
推论：如果两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．
符号语言：a∥b, a⊥
α，
⇒b⊥
α
例2．如图，在三棱锥 P-ABC 中， ，垂足为 D， 底面 ABC，垂足为 O,且O
在CD 上，求证： .
【答案】证明见解析
【分析】
通过线面垂直证得 ，结合 得 平面 POC，即可得证.
【详解】
证明： 底面 ABC， 底面 ABC，.
∵O在CD 上, .
又 ，
平面 POC.平面 POC，.
【点睛】
此题考查线面垂直的性质和判定的综合应用，利用线面垂直得线线垂直.
例3．已知三棱锥 中， ， .若平面 分别与棱
相交于点 且 平面 .
.
【答案】证明见解析.
【分析】
利用线面垂直的判定定理可以证明线面垂直，利用线面垂直的性质可以证明线线垂直，利
用平行线的性质，最后证明出 .
【详解】
因为 ， ， ,平面 ，所以 平面
,而 平面 ,所以 ,由（1）可知 ,所以 .
【点睛】
本题考查了线面平行的性质定理，线面垂直的判定定理、以及平行公理的应用.
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