专题05数列中的奇偶项问题（讲）【解析版】（理科）第一篇热点、难点突破篇-《2022年高考理科数学二轮复习讲练测》（全国课标版）

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专题 05　数列中的奇偶项问题（讲）（理）

1.数列中的奇、偶项问题的常见题型

(1)数列中连续两项和或积的问题(an＋an＋1＝f(n)或an·an＋1＝f(n))；

(2)含有(－1)n的类型；

(3)含有{a2n}，{a2n－1}的类型；

(4)已知条件明确的奇偶项问题.

2.对于通项公式分奇、偶项有不同表达式的数列{an}求Sn时，我们可以分别求出奇数项的和与偶

数项的和，也可以把 a2k－1＋a2k看作一项，求出 S2k，再求 S2k－1＝S2k－a2k.

1.（2021 年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知数列满足，

（1）记，写出，，并求数列的通项公式；

（2）求的前 20 项和.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由题设可得

又，，

故，即，即

所以为等差数列，故 .

（2）设的前项和为，则，

因为，

所以

2．（2020 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））数列满足，前 16 项

和为 540，则 ______________.

【答案】

【分析】，

当为奇数时，；当为偶数时， .

设数列的前项和为，

，

故答案为： .

3.（2014 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））已知数列的前项和为

，其中为常数．

（1）证明：；

（2）是否存在，使得为等差数列？并说明理由．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【详解】：（I）由题设，，．两式相减得，．

由于，所以．

（II）由题设，，，可得，由（I）知，．令，解得

．

故，由此可得，是首项为 1，公差为 4的等差数列，；

是首项为 3，公差为 4的等差数列，．

所以，．

因此存在，使得为等差数列．

　数列中的奇、偶项问题

考点一：已知条件明确的奇偶项问题.

例1. 已知数列{an}满足 a1＝1，

an＋1＝记 bn＝a2n，

求证：数列{bn}为等比数列，并求出数列{an}的通项公式.

证明　∵bn＋1＝a2(n＋1)＝a2n＋1＋2n＋1－1＝a2n＋1＋2n

＝(a2n－2·2n)＋2n＝a2n＝bn，

∴{bn}为等比数列，且公比 q＝.

又b1＝a1＝，

可得 bn＝·＝，

所以，当 n为偶数时，an＝b＝；

当n为奇数且 n≥3时，

an＝a(n－1)＋1＝an－1－2(n－1)＝b－2(n－1)

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