专题05 圆锥曲线中的弦长问题-直击2021年高考中的圆锥曲线问题（理科数学）

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专题 05 圆锥曲线中的弦长问题

一、弦长公式

直线与圆锥曲线相交时，常常借助根与系数的关系解决弦长问题．直线方程与圆锥曲线方程

联立，消去 y后得到关于 x的一元二次方程．当 Δ>0 时，直线与圆锥曲线相交，设交点为

A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线 AB 的斜率为 k，则直线被圆锥曲线截得的弦长

|AB|＝＝| x 1－ x 2|＝·.

再利用根与系数的关系得出 x1＋x2，x1x2的值，代入上式计算即可．

二、直线与圆锥曲线相交弦的中点问题

中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．

(1)利用根与系数的关系：将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程，

利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解，注意不能忽视对判别式的讨论．

(2) 点差法：若直线 l与圆锥曲线 C有两个交点 A，B，一般地，首先设出

A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入曲线方程，通过作差，构造出 x1＋x2，y1＋y2，x1－x2，y1－y2，从而建立

中点坐标和斜率的关系．

三、常用结论

解决直线与圆锥曲线关系问题的一般方法

(1)解决焦点弦(过圆锥曲线焦点的弦)的长的有关问题，注意应用圆锥曲线的定义．

(2)已知直线与圆锥曲线的某些关系求圆锥曲线的方程时，通常利用待定系数法．

(3)圆锥曲线上的点关于某一直线的对称问题，解此类题的方法是利用圆锥曲线上的两点所在

的直线与对称直线垂直，圆锥曲线上两点的中点一定在对称直线上，再利用根的判别式或中点与曲

线的位置关系求解．

(4)圆锥曲线以 P(x0，y0)(y≠0)为中点的弦所在直线的斜率如下表：

圆锥曲线方程直线斜率

椭圆：＋＝1(a>b>0) k＝－

双曲线：－＝1(a>0，b>0) k＝

抛物线：y2＝2px(p>0) k＝

技巧 1 求已知曲线弦长问题

例1、若直线与椭圆交于两点,则( )

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据已知直线方程与椭圆方程,联立方程组,求解两点坐标,即可求解弦的长.

【详解】

由题意联立方程可得: ,消去化简可得: ,

解得, , ，故交点

根据两点间距离公式可得:

故选:D.

【点睛】

本题主要考查了椭圆弦长,解题关键是掌握椭圆的基础知识和两点间距离公式,考查了分析能力和计

算能力,属于中档题.

技巧 2 求含参数弦长问题

例2、直线被椭圆截得的弦长的最大值为_______.

【答案】

【解析】

【分析】

联立直线与椭圆方程，结合弦长公式和韦达定理可求出，进而可

求出弦长的最大值.

【详解】

联立，消去 y得，设弦为，其中，，

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