考点10 平面向量线性运算（新高考地区专用）（原卷版）-2021年高考数学一轮复习（艺术生高考基础版）（新高考地区专用）

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考点 10 平面向量的线性运算

一．向量的有关概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模)．

(2)零向量：长度为 0 的向量，其方向是任意的．

(3)单位向量：长度等于 1 个单位长度的向量．（没有方向上的规定）

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：与任一向量平行或共线．

(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量

(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量

二．向量的线性运算

（一）加法：求两个向量和的运算

1.三角形法则：首尾连，连首尾

2.平行四边形法则：起点相同连对角

3.运算律

交换律：＋＝＋

结合律：( ＋ )＋＝＋( ＋ )

（二）减法

1.三角形法则：共起点，连终点，指向被减

2.平行四边形法则：共起点，连终点，指向被减

知识理解

（三）数乘：求实数

与向量的积的运算

1.数乘意义：|

|＝|

|| |，当

>0 时，

与的方向相同；

当

<0 时，

与的方向相反；

当

＝0 时，

＝0

2.运算律

（1）λ(μ )＝(λμ)

（2）(λ＋μ) ＝λ ＋μ

（3）λ( ＋ )＝λ ＋λ

3．向量共线定理

向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数

，使得＝

4．平面向量基本定理

如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数

1，

2，使＝

1＋

2.其中，不共线的向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底

考向一概念的辨析

【例 1】（2020·全国高三专题练习）下列关于向量的叙述不正确的是（）

A．向量的相反向量是

B．模为 1 的向量是单位向量，其方向是任意的

C．若

，

四点在同一条直线上，且

＝

，则＝

D．若向量与满足关系，则与共线

考向分析

【举一反三】

1．（2020·全国高三专题练习（文））给出下列命题：

① 两个具有公共终点的向量，一定是共线向量．

② 两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．

③ 若 (

为实数)，则

必为零．

④

，

为实数，若，则共线．

其中错误的命题的个数为

A．1 B．2

C．3 D．4

2．（2020·全国高三专题练习）给出下列命题：

① 两个具有公共终点的向量，一定是共线向量.

② 两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小.

③ （为实数），则必为零.

④ 为实数，若，则与共线.

其中正确的命题的个数为( )

A．1 B．2 C．3 D．4

3．（2020·全国高三专题练习）下列命题中正确的是( )

A．若，则 B．若，则

C．若，则与可能共线 D．若，则一定不与共线

【方法总结】

(1)向量定义的关键是方向和长度．

(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．

(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．

(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．

(5)零向量的关键是长度是 0，规定零向量与任何向量共线

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