考点10 平面向量线性运算（新高考地区专用）（解析版）-2021年高考数学一轮复习（艺术生高考基础版）（新高考地区专用）

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考点 10 平面向量的线性运算
一．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模)．
(2)零向量：长度为 0 的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于 1 个单位长度的向量．（没有方向上的规定）
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定： 与任一向量平行或共线．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量
二．向量的线性运算
（一）加法：求两个向量和的运算
1.三角形法则：首尾连，连首尾
2.平行四边形法则：起点相同连对角
3.运算律
交换律： ＋ ＝ ＋
结合律：( ＋ )＋ ＝ ＋( ＋ )
（二）减法
1.三角形法则：共起点，连终点，指向被减
2.平行四边形法则：共起点，连终点，指向被减
（三）数乘：求实数
λ
与向量 的积的运算
知识理解
1.数乘意义：|
λ
|＝|
λ
|| |，当
λ
>0 时，
λ
与 的方向相同；
当
λ
<0 时，
λ
与 的方向相反；
当
λ
＝0 时，
λ
＝0
2.运算律
（1）λ(μ )＝(λμ)
（2）(λ＋μ) ＝λ ＋μ
（3）λ( ＋ )＝λ ＋λ
3．向量共线定理
向量 与非零向量 共线的充要条件是有且只有一个实数
λ
，使得 ＝
λ
.
4．平面向量基本定理
如果 ， 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 ，有且只有一对实数
λ
1，
λ
2，使 ＝
λ
1＋
λ
2.其中，不共线的向量 ， 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底
考向一 概念的辨析
【例 1】（2020·全国高三专题练习）下列关于向量的叙述不正确的是（ ）
A．向量 的相反向量是
B．模为 1 的向量是单位向量，其方向是任意的
C．若
A
，
B
，
C
，
D
四点在同一条直线上，且
AB
＝
CD
，则 ＝
D．若向量 与 满足关系 ，则 与 共线
【答案】C
【解析】A 选项中，向量 的相反向量是 ，故正确；
B 选项中，模为 1 的向量是单位向量，其方向是任意的，故正确；
考向分析
C 选项中，若
A
，
B
，
C
，
D
四点在同一条直线上，且
AB
＝
CD
，则 与 方向可能相同或相反，故不正
确，；
D 选项中，若向量 与 满足关系 ，则 与 共线，正确.故选：C.
【举一反三】
1．（2020·全国高三专题练习（文））给出下列命题：
① 两个具有公共终点的向量，一定是共线向量．
② 两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．
③ 若 (
λ
为实数)，则
λ
必为零．
④
λ
，
μ
为实数，若 ，则 共线．
其中错误的命题的个数为
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】C
【解析】①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．
② 正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．
③ 错误，当 时，不论
λ
为何值， .
④ 错误，当
λ
=
μ
=0 时， ，此时， 与 可以是任意向量．故选 C．
2．（2020·全国高三专题练习）给出下列命题：
① 两个具有公共终点的向量，一定是共线向量.
② 两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小.
【方法总结】
(1)向量定义的关键是方向和长度．
(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．
(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．
(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．
(5)零向量的关键是长度是 0，规定零向量与任何向量共线
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