考点9-2 基本不等式及其应用(文理）-2023年高考数学一轮复习小题多维练（全国通用）（解析版）

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考点 9-2 基本不等式及其应用
1．（2021·全国·高考真题）已知 ， 是椭圆 ： 的两个焦点，点 在 上，则
的最大值为（）
A．13 B．12 C．9 D．6
【答案】C
【分析】本题通过利用椭圆定义得到 ，借助基本不等式 即
可得到答案．
【详解】由题， ，则 ，
所以 （当且仅当 时，等号成立）．
故选：C．
【点睛】
2．（2022·全国·高三专题练习）已知 都是正数，且 ，则 的最小值为（）
A．B．2 C．D．3
【答案】C
【分析】利用基本不等式中“1”的妙用，令 ，即可求解.
【详解】由题意知， ， ，
则
，
当且仅当 时， 取最小值 .
故选：C．
3．（2023·全国·高三专题练习）下列说法正确的为（）
A．
B．函数 的最小值为 4
C．若 则 最大值为 1
D．已知 时， ，当且仅当 即 时， 取得最小值 8
【答案】C
【分析】利用基本不等式及其对勾函数的性质分别判断即可.
【详解】对于选项 ,只有当 时，才满足基本不等式的使用条件，则 不正确；
对于选项 ,，令 ，
即 在 上单调递增，则最小值为 ,
则 不正确；
对于选项 ,，则 正确；
对于选项 ,当 时， ，当且仅当
时，即 ，等号成立，则 不正确.
故选： .
4.（2021·天津·高考真题）若 ，则 的最小值为____________．
【答案】
【分析】两次利用基本不等式即可求出.
【详解】 ，
，
当且仅当 且 ，即 时等号成立，
所以 的最小值为 .
故答案为： .
5.（2023·全国·高三专题练习）若实数 ， 满足 ，且 ，则 的最大值为______.
【答案】 ##0.125
【分析】令 ，对不等式变形得到 ，利用基本不等式进行求解.
【详解】令 ，则 ，
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 的最大值为
故答案为：
6.（2021·山东·临沂市兰山区教学研究室高三开学考试）已知 为正实数且 ，则 的最小值
为（）
A．B．C．D．3
【答案】D
【分析】由题知 ，再结合基本不等式求解即可.
【详解】解：因为 为正实数且 ，
所以 ，
所以，
因为 ，当且仅当 时等号成立；
所以 ，当且仅当 时等号成立；
故选：D
7．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知正实数 满足 ，则 的最小值为
（）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【分析】令 ，用 分别乘 两边再用均值不等式求解即可.
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