考点8-4 抛物线及其性质(文理）-2023年高考数学一轮复习小题多维练（全国通用）（解析版）

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考点 8-4 抛物线及其性质

1．（2021·全国·高考真题）抛物线的焦点到直线的距离为，则（）

A．1 B．2 C．D．4

【答案】B

【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得的值.

【详解】抛物线的焦点坐标为，

其到直线的距离：，

解得： (舍去).

故选：B.

2．（2023·全国·高三专题练习）已知 O为坐标原点，抛物线的焦点为 F，点 M在抛物线上，且

，则 M点到轴的距离为（）

A．2 B．C．D．

【答案】D

【分析】设点的坐标，由焦半径公式列出方程，求出点的横坐标，从而求出纵坐标，得到答案.

【详解】由题意得，所以准线为，

又因为，设点的坐标为，

则有，解得：

将代入解析式得：，

所以 M点到 x轴的距离为．

故选：D．

3．（2022·陕西·交大附中模拟预测（文））点在抛物线上，则到直线的距离与到直线

的距离之和的最小值为（）

A．B．

C．D．

【答案】B

【分析】由抛物线定义可知最小值就是焦点到直线的距离，由点到直线距离公式得解.

【详解】由抛物线定义到直线的距离等于到抛物线焦点距离，

所以到直线的距离与到直线的距离之和的最小值，

即焦点到直线的距离： .

故选:B.

4.（2019·北京·高考真题（文））设抛物线 y2=4x的焦点为 F，准线为 l.则以 F为圆心，且与 l相切的圆的方

程为__________．

【答案】(x-1)2+y2=4.

【分析】由抛物线方程可得焦点坐标，即圆心，焦点到准线距离即半径，进而求得结果.

【详解】抛物线 y2=4x中，2p=4，p=2，

焦点 F（1,0），准线 l的方程为 x=-1，

以F为圆心，

且与 l相切的圆的方程为 (x-1)2+y2=22,即为(x-1)2+y2=4.

【点睛】本题主要考查抛物线的焦点坐标，抛物线的准线方程，直线与圆相切的充分必要条件等知识，意

在考查学生的转化能力和计算求解能力.

5．（2023·全国·高三专题练习）已知点 F是抛物线的焦点，A，B，C为E上三点，且

，则 ___________．

【答案】12

【分析】根据题意可得 F为△ABC 的重心，根据重心坐标公式解得，

再结合抛物线定义代入整理计算．

【详解】由题意知，设，，，

，F为△ABC 的重心

，即，

则．

故答案为：12．

6.（2022·天津·高考真题）已知抛物线分别是双曲线的左、右焦点，抛

物线的准线过双曲线的左焦点，与双曲线的渐近线交于点 A，若，则双曲线的标准方程为

（）

A．B．

C．D．

【答案】C

【分析】由已知可得出的值，求出点的坐标，分析可得，由此可得出关于、、的方

程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.

【详解】抛物线的准线方程为，则，则、，

不妨设点为第二象限内的点，联立，可得，即点，

因为且，则为等腰直角三角形，

且，即，可得，

所以，，解得，因此，双曲线的标准方程为 .

故选：C.

7．（2022·江苏·南京市第一中学高三开学考试）已知以 F为焦点的抛物线上的两点 A，B，满足

，则弦 AB 的中点到 C的准线的距离的最大值是（）

A．2 B．C．D．4

【答案】B

【分析】根据抛物线焦点弦的性质以及，联立可得，进而可用对勾函数的性质求

的最值，进而可求.

【详解】解法 1：抛物线的焦点坐标为，准线方程为，

设，，则∵ ，由抛物线定义可知，∴ ，又

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