考点8-3 双曲线及其性质(文理）-2023年高考数学一轮复习小题多维练（全国通用）（解析版）

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考点 8-3 双曲线及其性质

1．（2021·全国·高考真题（文））点到双曲线的一条渐近线的距离为（）

A．B．C．D．

【答案】A

【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.

【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：，即，

结合对称性，不妨考虑点到直线的距离： .

故选：A.

2．（2021·山东·高三开学考试）已知，分别为双曲线（）的左、右焦点，，

是右支上的两点，且直线经过点．若，以为直径的圆经过点，则的离心

率为（）

A．B．C．D．

【答案】A

【分析】由以为直径的圆经过点得，结合双曲线的定义及勾股定理可得解.

【详解】由题意得，设，则，，，，

在中，由勾股定理得，解得，

则，，

在中，由勾股定理得，化简得，

所以的离心率，

故选：A.

3．（2022·广东·深圳外国语学校高三阶段练习）已知双曲线（，）的左右焦点分

别为，，O为坐标原点，点 P为双曲线 C中第一象限上的一点，的平分线与 x轴交于 Q，若

，则双曲线的离心率范围为（）

A．B．C．D．

【答案】B

【分析】根据角平分线的性质得出，，利用三角形的三边关系以及双曲线的性质即可求

解.

【详解】设双曲线的半焦距为，离心率为，

由，则，，

因为是的平分线，

所以 ,

又因为，

所以，

所以，解得，即，

所以双曲线的离心率取值范围为 .

故选：B

4.（2022·全国·高考真题（理））若双曲线的渐近线与圆相切，则

_________．

【答案】

【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆

心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．

【详解】解：双曲线的渐近线为，即，

不妨取，圆，即，所以圆心为，半径，

依题意圆心到渐近线的距离，

解得或（舍去）．

故答案为：．

5．（2022·河南开封·高三模拟（理））已知双曲线的左、右焦点分别为，，

过作直线垂直于双曲线的一条渐近线，直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，若

，则双曲线的离心率为______．

【答案】

【分析】联立直线方程可得点，的坐标，结合，可得，进而可得离心率.

【详解】由题意，双曲线的渐近线为，若过的直线与直线垂直，垂足为，直线

与直线交于，，

因为，所以在，之间，

如图所示，直线的方程为，

由，得，

由，可得，所以，所以，

所以双曲线的离心率．

同理，过的直线与直线垂直时，双曲线的离心率．综上所述，双曲线的离心率为

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