考点7-4 范围与最值(文理）-2023年高考数学一轮复习小题多维练（全国通用）（解析版）

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考点 7-4 范围与最值

1．（2022·全国·高三专题练习）已知圆锥的高为 1，母线长为，则过此圆锥顶点的截面面积的最大值

为（）

A．2 B．C．D．3

【答案】D

【分析】先根据圆锥的高和母线，求出顶角范围，结合面积公式可得最大值.

【详解】如图是圆锥的轴截面，

由题意母线，高，

则，是锐角，

所以，于是得轴截面顶角，

设截面三角形的顶角为，则过此圆锥顶点的截面面积，

当两条母线夹角为时，截面面积为为所求面积最大值，

故选：D.

2．（2022·湖南·长沙一中高三开学考试）已知点 A为圆台 O1O2下底面圆 O2的圆周上一点，S为上底面圆

O1的圆周上一点，且 SO1=1，O1O2=，O2A=2，记直线 SA 与直线 O1O2所成角为，则（）

A．B．C．D．

【答案】C

【分析】根据线面角的定义确定，再根据圆的性质计算得解.

【详解】由题意，设上下底面半径分别为､，其中，

如图，过作垂直下底面于，则，

所以直线与直线所成角即为直线与直线所成角，即，

而，由圆的性质，，

所以，所以，

故选：C.

3．（2022·湖北·高三阶段练习）已知四面体中，，则体积的最大值

为（）

A．B．C．D．

【答案】C

【分析】设 M为CD 的中点，连接 AM,BM,设四面体 A-BCD 的高为 h，利用等体积法表示出四面体的体积，

利用三个正数的均值不等式即可求得答案.

【详解】设 M为CD 的中点，连接 AM,BM,

设四面体 A-BCD 的高为 h，则 ,

由于，故 ,

则,设，

则,

所以

，

当且仅当平面 ACD 与平面 BCD 垂直且即时取等号，

故选：C

4.（2022·上海市光明中学模拟预测）如图所示，有边长为 2的正方体为正方体表面的

一个动点．若三棱锥的体积为，则的取值范围是____________．

【答案】

【分析】根据三棱锥的体积求出点到平面的距离，由此确定点的轨迹，结合图形即可

得出答案.

【详解】设点到平面的距离为，

则，所以，

如图在上取点，使得，过点作平面平面，分别在上，

故点在四边形的边上，

则当点在点的位置时，最小，为，

当点在点的位置时，最大，为，

所以的取值范围是 .

故答案为： .

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