考点02 指数与对数的运算（新高考地区专用）（解析版）-2021年高考数学一轮复习（艺术生高考基础版）（新高考地区专用）

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考点 02 指数与对数的运算

一．指数运算

1．根式

(1)根式的概念

根式的概念符号表示备注

如果 a＝xn，那么 x叫做 a的n次实数方根 n>1 且n∈N*

当n为奇数时，正数的 n次实数方根是一个正数，负数的 n次

实数方根是一个负数

0的n次实数方根是 0

当n为偶数时，正数的 n次实数方根有两个，它们互为相反

数

±负数没有偶次方根

(2)两个重要公式

①＝(n为偶数)；

()②n＝a(注意 a必须使有意义)．

2．有理指数幂

(1)分数指数幂的表示

① 正数的正分数指数幂是＝(a>0，m，n∈N*，n>1)；

② 正数的负分数指数幂是＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1)；

0③ 的正分数指数幂是 0,0 的负分数指数幂无意义．

(2)有理指数幂的运算性质

①asat＝as＋t(a>0，t，s∈Q)；②(as)t＝ast(a>0，t，s∈Q)；③(ab)t＝atbt(a>0，b>0，t∈Q)．

二．对数的概念

(1)对数的定义

① 一般地，如果 a(a>0，a≠1)的b次幂等于 N，即 ab＝N，那么称 b是以 a为底 N的对数，记作 b＝logaN，

其中，a叫做对数的底数，N叫做真数．

② 底数的对数是 1，即 logaa＝1,1 的对数是 0，即 loga1＝0.

知识理解

(2)几种常见对数

对数形式特点记法

一般对数底数为 a(a>0 且a≠1) logaN

常用对数底数为 10 lg N

自然对数底数为 eln N

4.对数的性质与运算法则

(1)对数的性质

① ＝N(a>0 且a≠1，N>0)； ② logaaN＝N(a>0 且a≠1)．

(2)对数的重要公式

① 换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于 1，N>0)；② logab＝(a，b均大于零且不等于 1)．

(3)对数的运算法则

如果 a>0 且a≠1，M>0，N>0，那么

log①a(MN)＝logaM＋logaN； ② loga＝logaM－logaN；

log③aMn＝nlogaM(n∈R)； ④ ＝logaM

考向一根式

【例 1】（2020·全国练习）化简下列各式：

（1）；（2）；（3） .

【答案】（1）（2）原式（3）

【解析】（1）原式 .

（2）原式，

当时，原式；

考向分析

当时，原式 .

∴原式

（3）原式

【举一反三】

1． _____________.

【答案】

【解析】

化简得：，

整理得： .

故答案为： .

2．（2020·四川省冕宁中学校）下列根式与分数指数幂的互化，正确的是（）

A．B．

C．D．

【答案】C

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