解密19 随机变量及分布（讲义）-【高频考点解密】2022年高考数学二轮复习讲义+分层训练（新高考专用）

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解密 19 随机变量及分布列

随机变量及其分布

概率是近几年高考的热点

之一，主要考查随机事件

的概率、古典概型、几何

概型、随机变量及其分布

等知识，近几年高考对概

率的考查由单一型向知识

交汇型转化，且多为古典

概型、随机变量及其分布

与茎叶图、频率分布直方

图、回归分析、独立性检

验等交汇考查．

2021 年新高考全国Ⅰ 18

2020 新课标全国Ⅰ 19 ★★★★

古典概型与统计交

汇考查

2020 课标全国Ⅲ 3

★★

随机变量及其分布

与统计交汇

考查

2021 年新高考 II 21

2019 课标全国Ⅰ 21 ★★★

知识点 1:随机变量及其分布列

1.离散型随机变量与分布列

1. 随机变量:一般地,对于随机试验样本空间中的每个样本点 ,都有唯一的实数与之对应,我们

称为随机变量.

离散型随机变量:所有取值可以一一列出的随机变量.

2.离散型随机变量分布列的概念及性质

概念:若离散型随机变量可能取的不同值为取每一个值 , n)的概率

,以表格的形式表示如下:

此表称为离散型随机变量的概率分布列,简称为的分布列.有时也用等式 ,

表示的分布列.

(2)分布列的性质

① ;

② .

知识点 2 离散型随机变量的数字特征

1. 离散型随机变量的均值

一般地,若离散型随机变量的分布列为:

则称为随机变量的均值或数学期望.它反映了离散型随机变

量取值的平均水平.

(1)E(X)是一个实数,由 X 的分布列唯一确定,即作为随机变量,X 是可变的,可取不同值,而 E (X)是不变的,

它描述取值的平均状态.

(2)E 直接给出了的求法,即随机变量取值与相应概率分别相乘后相加.

2. 离散型随机变量的方差

一般地,若离散型随机变量的分布列为:

为这些偏离程度的加权平均,刻画了随机变量与其均值的平均偏离程

度.称为随机变量的方差,并称其算术平方根为随机变量的标准差.

特点:

随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.D(X)越大,表明平均

偏离程度越大, 的取值越分散.反之, 越小, 的取值越集中在附近.

3.常用结论

若 ,其中 a, b 是常数, 是随机变量, 则

(1) ,其中为常数;

(2) ;

(3) ;

(4) ;

(5)若相互独立,则 .

例题 1．已知数据，，，…，的平均数为 4，方差为 2，则数据，，，…，

的平均数与方差的和为（）

A．6 B．15 C．19 D．22

【答案】C

【分析】由题，

则，，

所以 .故选：C.

例题 2．设，随机变量的分布

0 1

则当在内增大时，（）

A．增大，增大 B．增大，减小

C．减小，增大 D．减小，减小

【答案】D

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