解密16 导数的综合应用 （讲义）-【高频考点解密】2021年新高考数学二轮复习讲义+分层训练

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解密 16 导数的综合应用
核心考点 读高考设问知考法 命题解读
利用导数研
究函数的零
点
【2014 新课标 1理11 文12】已知函数 =，若
存在唯一的零点 ，且 ＞0，则 的取值范围为(　　)
在 高 考 压 轴 题
中 ， 函 数 与 方
程、不等式的交
汇 是 考 查 的 热
点，常以指数函
数、对数函数为
载体考查函数的
零点(方程的根)、
比较大小、不等
式证明、不等式
恒成立与能成立
问题.
【2020 新课标 1文20】已知函数 ．
（1）当 时，讨论 的单调性；
（2）若 有两个零点，求 的取值范围．
【2020 新课标 3文20】已知函数 ．（1）讨论
的单调性；（2）若 有三个零点，求 的取值范围．
【2019 新课标 1理20】已知函数 ，
为 的导数．证明：（1） 在区间 存在唯一极大值
点；（2） 有且仅有 2个零点．
【2018 新课标 2理21】已知函数 ．
（1）若 ，证明：当 时， ；
2
( ) e
x
f x ax 
1a
0x
( ) 1f x
（2）若 在 只有一个零点，求 ．
利用导数证
明不等式
【2020 新课标 2理21】已知函数 ．
（1）讨论 在区间 的单调性；（2）证明：
；
（3）设 ，证明： ．
【2018 新课标 1理21】已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若 存在两个极值点 ，证明：
．
【2016 新课标 3文21】设函数 ．
（I）讨论 的单调性； （** Expression is faulty **）证明当
时， ；
（** Expression is faulty **）设 ，证明当 时，
．
导数与不等
式恒成立、
存在性问题
【2020 新高考全国】已知函数 ．
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线与两坐标
轴围成的三角形的面积；（2）若 ，求 的取值范围．
【2020 新课标 1理21】已知函数 ．
( )f x
(0, )
a
1
( ) lnf x x a x
x
 
( )f x
( )f x
1 2
,x x
 
1 2
1 2
2
f x f x a
x x
 
（1）当 时，讨论 的单调性；
（2）当 时， ，求 的取值范围．
【2017 新课标 1文21】已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；（2）若 ，求 的取值范围．
【2017 新课标 2文21】设函数 f (x) = (1-x2)ex．（1）讨论 f (x)的单
调性；（2）当 x0时，f (x)ax+1，求 a的取值范围．
核心考点一 利用导数研究函数的零点
1.利用导数研究函数的零点
函数的零点、方程的实根、函数图象与 x轴的交点的横坐标是三个等价的概念，解决这类问题可以通过函
数的单调性、极值与最值，画出函数图象的变化趋势，数形结合求解.
2.三次函数的零点分布
三次函数在存在两个极值点的情况下，由于当 x→∞时，函数值也趋向∞，只要按照极值与零的大小关系确
定其零点的个数即可.存在两个极值点 x1，x2且x1<x2的函数 f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的零点分布情况如下：
a的符号 零点个数 充要条件
a＞0
(f(x1)为极大值，
f(x2)为极小值)
一个 f(x1)＜0或f(x2)>0
两个 f(x1)＝0或f(x2)＝0
三个 f(x1)＞0且f(x2)＜0
a＜0
(f(x1)为极小值，
f(x2)为极大值)
一个 f(x1)>0 或f(x2)＜0
两个 f(x1)＝0或f(x2)＝0
三个 f(x1)＜0且f(x2)＞0
1．【2014 新课标 1理11 文12】已知函数 =，若 存在唯一的零点 ，且 ＞0，
则 的取值范围为(　　)
 
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