解密15 导数与函数的单调性、极值、（讲义）-【高频考点解密】2021年新高考数学二轮复习讲义+分层训练

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解密 15 导数与函数的单调性、极值、

最值问题

核心考点读高考设问知考法命题解读

导数的几何

意义

【2020 新课标 1理6】函数的图像在点处的

切线方程为( )

利用导数研究函

数的性质，能进

行简单的计算，

以含指数函数、

对数函数、三次

有理函数为载

体，研究函数的

单调性、极值、

最值，并能解决

简单的问题.

【2020 新课标 3理10】若直线与曲线和都相

切，则的方程为（）

【2020 新课标 1文15】曲线的一条切线的斜率为 2，

则该切线的方程为__________．

【2016 新课标 2理16】若直线是曲线的切

线，也是曲线的切线，则．

利用导数研

究函数的单

调性

【2016 新课标 1文12】若函数在

单调递增，则的取值范围是( )

【2020 新课标 2文21】已知函数．

（1）若，求的取值范围；

（2）设时，讨论函数的单调性．

利用导数研

究函数的极

值和最值

【2018 新课标 1理16】已知函数，则

的最小值是________．

【2017 新课标 2理11】若是函数的

极值点，则的极小值为( )

【2019 新课标 3文20】已知函数．

（1）讨论的单调性；（2）当时，记在区间

[0，1]的最大值为，最小值为，求的取值范围．

【2018 北京卷】设函数 f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex.

(1)若曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与 x轴平行，求 a；

(2)若f(x)在x＝2处取得极小值，求 a的取值范围.

核心考点一导数的几何意义

1.导数的几何意义

函数 f(x) 在x0处的导数是曲线 f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线 f(x)在点 P处的切线的斜率 k＝f′

(x0)，相应的切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).

易错提醒　求曲线的切线方程时，要注意是在点 P处的切线还是过点 P的切线，前者点 P为切点，后者点

P不一定为切点.

2.四个易误导数公式

(1)(sin x)′＝cos x；

(2)(cos x)′＝－sin x；

(3)(ax)′＝axln a(a>0，且 a≠1)；

(4)(logax)′＝(a>0，且 a≠1，x>0).

3 2

( ) 2 2f x x ax  

( )f x

1．【2020 新课标 1理6】函数的图像在点处的切线方程为（）

A． B． C． D．

【解析】，，，，因此所求切线的方程为

，即．故选 B．

2．【2018 新课标 1文6理5】设函数．若为奇函数，则曲线在点

处的切线方程为( )

A．B．C．D．

【解析】解法一：因为函数为奇函数，所以，所以

，所以，因为，所以，所

以，所以，所以，所以曲线在点处的切线方程为

．故选 D．

解法二：因为函数为奇函数，所以，所以

，解得，所以，

所以，所以，所以曲线在点处的切线方程为．故选 D．

解法三：易知，因为为奇函数，所以函数

为偶函数，所以，解得，所以，所以

，所以，所以曲线在点处的切线方程为．故选 D．

3．【2020 新课标 1文15】曲线的一条切线的斜率为 2，则该切线的方程为_____________．

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