解密12 圆锥曲线中的热点问题（讲义）-【高频考点解密】2021年新高考数学二轮复习讲义+分层训练

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解密 12 圆锥曲线中的热点问题

核心考点读高考设问知考法命题解读

圆锥曲线中

的最值、范

围问题

【2017 新课标 1文12】设是椭圆长轴的两个

端点，若上存在点满足，则的取值范围是

（）

1. 圆锥曲线中的

定点与定值、最

值与范围问题是

高考必考的问题

之一，主要以解

答题形式考查，

往往作为试卷的

压轴题之一；

2. 以椭圆或抛物

线为背景，尤其

是与条件或结论

相关存在性开放

问题，对考生的

代数恒等变形能

力、计算能力有

较高的要求，并

突出数学思想方

法的考查.

【2017 新课标 1理10】已知为抛物线：的焦点，过

作两条互相垂直的直线，直线与交于两点，直线

与交于两点，则的最小值为( )

【2014 新课标 1理20】已知点，椭圆 :

的离心率为

{

0,1,2⋯q−1

}

，是椭圆的右焦点，直线

的斜率为

{

x|x=x1+x2q+⋯xnqn−1, xi∈M , i=1,2 ,⋯n

}

，为坐标原点．（I）求的方程；（II）设

过点的动直线

q=2, n=3

与相交于两点，当

b∈R ,

的面积最大

时，求的直线方程．

圆锥曲线中

定值、定点【2018 新课标 1理19】设椭圆的右焦点为，过

问题

的直线与交于两点，点的坐标为（1）略；（2）

设为坐标原点，证明： .

【2020 新课标Ⅰ理 20】已知 A，B分别为椭圆 E：＋y2＝1(a>1)的

左、右顶点，G为E的上顶点，AG·GB＝8.P为直线 x＝6上的动

点，PA 与E的另一交点为 C，PB 与E的另一交点为 D.(1)求E的方

程；(2)证明：直线 CD 过定点.

【2020 新高考全国 21】已知椭圆 C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，

且过点 A(2 ，1).(1) 求C的方程；(2) 点M，N在C上，且

AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足.证明：存在定点 Q，使得|DQ|为定

值.

【2017 新课标 1理20】已知椭圆：，四

点，，，中恰有三点在椭

圆上．（1）求的方程；（2）设直线不经过点且与相交

于两点，若与的斜率的和为，证明：直线过定

点．

圆锥曲线中

的存在性问

题

【2016 新课标 1文20】在直角坐标系中，直线 :

交轴于点，交抛物线：于点，关于

点的对称点为，连结并延长交于点．（I）求

；（** Expression is faulty **）除以外，直线与是否有

其它公共点？说明理由．

【2015 新课标 2理20】已知椭圆，直线

不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段

的中点为．(Ⅰ)证明：直线与的斜率乘积为定值；

（Ⅱ）若过点，延长线段与交于点，四边形

能否为平行四边形？若能，求此时的斜率，若不能，说明

理由．

核心考点一圆锥曲线中的最值、范围问题

1.圆锥曲线常考查的几何量

(1)直线方程：会用点斜式或斜截式设直线方程；

(2)线段长、面积：三角形、四边形的面积中蕴含着线段长、点到直线的距离公式；

(3)斜率公式、共线点的坐标关系：由两点坐标会表示出对应的直线斜率，共线点的横坐标或纵坐标也满足

比例关系；

(4)平面图形的几何性质：平行四边形、菱形等图形中的几何性质，如垂直、平行、平分、中点关系；

(5)向量关系的转化：会把向量关系转化为对应点，如坐标关系.

2.圆锥曲线中的范围、最值问题：可以转化为函数的值域、最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利

用式子的几何意义求解.

温馨提醒　圆锥曲线上点的坐标是有范围的，在涉及到求最值或范围问题时注意坐标范围的影响.

1.【2017 新课标 1文12】设是椭圆长轴的两个端点，若上存在点满足

，则的取值范围是（）

A． B． C． D．

图 1 图 2

【解析】解法一：设是椭圆 C短轴的两个端点，易知当点是椭圆 C短轴的端点时最大，依

题意只需使．

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