解密12 圆锥曲线中的热点问题（分层训练）-【高频考点解密】2021年新高考数学二轮复习讲义+分层训练（解析版）

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解密 12 圆锥曲线中的热点问题

A组考点专练

一、选择题

1.椭圆 C：＋＝1的焦点在 x轴上，点 A，B是长轴的两端点，若曲线 C上存在点 M满足∠AMB＝120°，则

实数 m的取值范围是(　　)

A.(3，＋∞) B.[1，3)

C.(0，) D.(0，1]

【答案】D

【解析】依题意，当 0<m<3 时，焦点在 x轴上，

要在曲线 C上存在点 M满足∠AMB＝120°，

则≥tan 60°，即≥，解得 0<m≤1.

2.若点 P为抛物线 y＝2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为(　　)

A.2 B. C. D.

【答案】D

【解析】根据题意，设抛物线 y＝2x2上点 P到准线的距离为 d，则有|PF|＝d，抛物线的方程为 y＝2x2，即

x2＝y，其准线方程为 y＝－，∴当点 P在抛物线的顶点时，d有最小值，即|PF|min＝.

3.已知椭圆 C：x2＋＝1，直线 l：y＝x＋m，若椭圆 C上存在两点关于直线 l对称，则 m的取值范围是(

)

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】设椭圆 C上存在关于直线 y＝x＋m对称的两点为 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则线段 MN 被直线 y＝x＋

m垂直平分.设MN 的中点 T(x0，y0)在直线 y＝x＋m上，kMN＝－1，故设直线 MN 的方程为 y＝－x＋n.

联立整理，得 3x2－2nx＋n2－2＝0，

∴x1＋x2＝，y1＋y2＝2n－(x1＋x2)＝2n－＝，

∴x0＝＝，y0＝＝.

由Δ＝4n2－12(n2－2)＞0，可得－＜n＜.

∵MN 的中点 T(x0，y0)在直线 y＝x＋m上，

∴＝＋m，∴m＝，∴－＜m＜.

4.(多选题)设椭圆 C：＋y2＝1的左、右焦点分别为 F1，F2，P是C上的动点，则下列结论正确的是(　　)

A.|PF1|＋|PF2|＝2

B.离心率 e＝

C.△PF1F2面积的最大值为

D.以线段 F1F2为直径的圆与直线 x＋y－＝0相切

【答案】AD

【解析】对于 A，由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|＝2a＝2，故 A正确；对于 B，由椭圆方程知 a＝，b＝1，c

＝1，所以离心率 e＝＝＝，故 B错误；对于 C，|F1F2|＝2c＝2，当 P为椭圆短轴顶点时，△PF1F2的面积取

得最大值，最大值为·2c·b＝c·b＝1，故 C错误；对于 D，以线段 F1F2为直径的圆的圆心为(0，0)，半径为 c

＝1，圆心到直线 x＋y－＝0的距离为＝1，即圆心到直线的距离等于半径，所以以线段 F1F2为直径的圆与

直线 x＋y－＝0相切，故 D正确.故选 AD.

5.(多选题)已知 P是椭圆 C：＋y2＝1上的动点，Q是圆 D：(x＋1)2＋y2＝上的动点，则(　　)

A.椭圆 C的焦距为

B.椭圆 C的离心率为

C.圆D在椭圆 C的内部

D.|PQ|的最小值为

【答案】BC

【解析】依题意可得 c＝＝，则椭圆 C的焦距为 2，离心率为＝.设P(x，y)(－≤x≤).由圆心 D的坐标为(－

1，0)，得|PD|2＝(x＋1)2＋y2＝(x＋1)2＋1－＝＋≥>，所以圆 D在椭圆 C的内部，且|PQ|的最小值为－＝.故

选BC.

二、填空题

6.已知点 P(0，1)，椭圆＋y2＝m(m>1)上两点 A，B满足AP＝2PB，则当 m＝________时，点 B横坐标的绝

对值最大.

【答案】5

【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由AP＝2PB，得即 x1＝－2x2，y1＝3－2y2.

因为点 A，B在椭圆上，所以得 y2＝m＋，所以 x＝m－(3－2y2)2＝

－m2＋m－＝－(m－5)2＋4≤4，所以当 m＝5时，点 B的横坐标的绝对值最大，最大值为 2.

7.已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为 F1、F2，P为双曲线上任一点，且PF1·PF2的最小值为－7，则该

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