解密12 空间向量在空间几何体的应用（讲义）-【高频考点解密】2022年高考数学二轮复习讲义+分层训练（新高考专用）

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解密 12 空间向量在空间几何体的应用

高考考点命题分析三年高考探源考查频率

利用空间

向量求线

面角从近三年高考情况来看，利用空间向量证明平

行与垂直，以及求空间角是高考的热点．高考

主要考查空间向量的坐标运算，以及平面的法

向量等，难度属于中等偏上，主要为解答题，

解题时应熟练掌握空间向量的坐标表示和坐标

运算，把空间立体几何问题转化为空间向量问

题.

2021 新课标全国Ⅱ 10

2020 新课标全国Ⅱ 20

2018 新课标全国Ⅰ 18

2018 新课标全国Ⅱ 20

★★★★★

利用空间

向量求二

面角

2021 新课标全国Ⅱ 19

2021 新课标全国Ⅰ 20

2021 年全国甲卷 19

2021 年全国乙卷 18

2020 新课标全国Ⅲ 19

2020 新课标全国Ⅰ 18

2019 新课标全国Ⅰ 18

2019 新课标全国Ⅱ 17

★★★★★

考点一利用空间向量证明平行与垂直

☆技巧点拨☆

直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量判定方法

设直线 l的方向向量为 a=(a1，b1，c1)，平面 α，β的法向量分别为 μ=(a2，b2，c2)，v=(a3，b3，c3)，则

（1）线面平行：l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ=0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2=0；

（2）线面垂直：l⊥α⇔a

∥

μ⇔a=kμ⇔a1=ka2，b1=kb2，c1=kc2；

（3）面面平行：α∥β⇔μ∥v⇔μ=λv⇔a2=λa3，b2=λb3，c2=λc3；

（4）面面垂直：α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v=0⇔a2a3＋b2b3＋c2c3=0.

注意：用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理.如要证明线面平行，只需要证明平面

外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线 a∥b，只需证明向

量a=λb（λ∈R）即可.若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外.

例题 1 如图，在正方体中，是的中点，是线段上一点，且

（1）求证：；

（2）若平面平面，求的值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）不妨设正方体的棱长为 1，如图建立空间直角坐标系，

则，

于是，

因为，

所以，

故.

（2）由（1）可知的一个法向量为，

由，则，

设平面 CDE 的法向量为，

由，得

可取，

因为，

所以 .

考点二求空间角

题组一求异面直线所成的角

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