解密12 空间向量在空间几何体的应用（分层训练）（解析版）-【高频考点解密】2022年高考数学二轮复习讲义+分层训练（新高考专用）
解密 12 空间向量在空间几何体的
应用
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习（理））已知直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，底面 ABCD 为
正方形，AA1＝2AB，E为AA1的中点，则异面直线 BE 与CD1所成角的余弦值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C如图，以 D为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系.设AA1＝2AB＝2，则
B(1,1,0)，E(1,0,1)，C(0,1,0)，.所以 ， .所以
.
故选：C
2．（2021·河南开封·高三阶段练习（理））已知边长为 的菱形 中， ，
A组 基础练
为 边的中点，将 沿对角线 翻折，在翻折过程中，记直线 与 所成的
角为 .当平面 平面 时， （ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】取 的中点 ，连接 、 ，
由已知 ， ，则 是边长为 的等边三角形，
为 的中点，则 ，同理可证 ，
平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， 平面
，
以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直
角坐标系，
则 、 、 、 ，
， ，则 ，
所以， ，因此， .故选：C.
3．（2021·黑龙江·哈尔滨德强学校高三期中（理））如图一副直角三角板，现将两三角板
拼成直二面角，得到四面体 ，则下列叙述正确的是（ ）
①平面 的法向量与平面 的法向量垂直；
②异面直线 与 所成的角的余弦值为 ；
③四面体 有外接球且该球的半径等于棱 BD 长；
④直线 与平面 所成的角为 ．
A．①②④ B．③ C．③④ D．②③④
【答案】C
【分析】解：对①：由题意，平面 与平面 不垂直，所以平面 的法向量与平
面 的法向量不垂直，故①错误；对②：设 ，则 ，
，过点 作 和 平行且相等，则由题意可得 为矩形，
（或其补角）为异面直线 与 所成的角，
由题意，平面 平面 ，且交线为 ，又 ，所以 平面 ，
所以 ，同理 ，因为 ，
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