解密11 圆锥曲线的方程与性质（分层训练）-【高频考点解密】2021年新高考数学二轮复习讲义+分层训练（解析版）

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解密 11 圆锥曲线的方程与性质

A组考点专练

一、选择题

1.【2020 北京卷】设抛物线的顶点为 O，焦点为 F，准线为 l，P是抛物线上异于 O的一点，过 P作PQ⊥l

于Q.则线段 FQ 的垂直平分线(　　)

A.经过点 O B.经过点 P

C.平行于直线 OP D.垂直于直线 OP

【答案】B

【解析】如图所示，连接 PF，则|PF|＝|PQ|，∴QF 的垂直平分线过点 P.故选 B.

2.(多选题)【2020 新高考全国卷】已知曲线 C：mx2＋ny2＝1，则下列结论正确的是(　　)

A.若m＞n＞0，则 C是椭圆，其焦点在 y轴上

B.若m＝n＞0，则 C是圆，其半径为

C.若mn＜0，则 C是双曲线，其渐近线方程为 y＝±x

D.若m＝0，n＞0，则 C是两条直线

【答案】ACD

【解析】对于 A，当 m＞n＞0时，有＞＞0，方程化为＋＝1，表示焦点在 y轴上的椭圆，故 A正确；

对于 B，由 m＝n＞0，方程变形为 x2＋y2＝，该方程表示半径为的圆，B错误；

对于 C，由 mn＜0知曲线表示双曲线，其渐近线方程为 y＝±x，C正确；

对于 D，当 m＝0，n＞0时，方程变为 ny2＝1表示两条直线，D正确.

3.(多选题)已知抛物线 C：y2＝2px(p>0)的焦点为 F，直线 l的斜率为且经过点 F，直线 l与抛物线 C交于

A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点 D，若|AF|＝8，则以下结论正确的是(　　)

A.p＝4 B.DF＝FA

C.|BD|＝2|BF| D.|BF|＝4

【答案】ABC

【解析】如图，分别过点 A，B作抛物线 C的准线的垂线，垂足分别为点 E，M，连接 EF.设抛物线 C的准

线交 x轴于点 P，则|PF|＝p，由直线 l的斜率为，可得其倾斜角为 60°.∵AE∥x轴，

∴∠EAF＝60°.由抛物线的定义可知，|AE|＝|AF|，则△AEF 为等边三角形，∴∠PEF＝30°，

∴|AF|＝|EF|＝2|PF|＝2p＝8，得 p＝4，A正确.

∵|AE|＝2|PF|，PF∥AE，∴F为AD 的中点，则DF＝FA，B正确.又∠DAE＝60°，∴∠ADE＝30°，

∴|BD|＝2|BM|＝2|BF|，C正确.

由C选项知|BF|＝|DF|＝|AF|＝，D错误.故选 ABC.

4.已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左右焦点分别为 F1，F2，点 P在双曲线上，且有PF1·PF2＝0，若点 P到

x轴的距离为|F1F2|，则双曲线的离心率为(　　)

A. B. C.2 D.

【答案】A

【解析】因为PF1·PF2＝0，所以 PF1⊥PF2，

则∠F1PF2＝90°，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2.

由双曲线定义，得|PF1|－|PF2|＝±2a，∴|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4a2.

因此 2(c2－a2)＝|PF1|·|PF2|，①

在Rt△PF1F2中，|PF1|·|PF2|＝|F1F2|·|F1F2|＝c2.

代入①式，得 2(c2－a2)＝c2，则 c2＝2a2，

故双曲线的离心率 e＝＝＝.

5.已知椭圆 C：＋＝1(a＞b＞0)，F1，F2分别为椭圆的左右焦点，若椭圆 C上存在点 P(x0，y0)(x0≥0)使得

∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率的取值范围为(　　)

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】依题设 x0≥0时，当点 P在椭圆的上(下)顶点时，∠PF1F2最大.

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