解密10 直线与圆（分层训练）-【高频考点解密】2021年新高考数学二轮复习讲义+分层训练（解析版）

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解密 10 直线与圆

A组考点专练

一、选择题

1.命题 p：m＝2，命题 q：直线(m－1)x－y＋m－12＝0与直线 mx＋2y－3m＝0垂直，则 p是q成立的(　　)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】若两直线垂直，则(m－1)×m＋(－1)×2＝0，解之得 m＝2或m＝－1.∴p是q成立的充分不必要

条件.

2.过点 A(1，2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为(　　)

A.y－x＝1 B.y＋x＝3

C.2x－y＝0或x＋y＝3 D.2x－y＝0或y－x＝1

【答案】D

【解析】当直线过原点时，可得斜率为＝2，

故直线方程为 y＝2x，

当直线不过原点时，设方程为＋＝1，

代入点(1，2)可得－＝1，解得 a＝－1，

方程为 x－y＋1＝0，

故所求直线方程为 2x－y＝0或y－x＝1.

3.过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为(　　)

A.2x＋y－5＝0 B.2x＋y－7＝0

C.x－2y－5＝0 D.x－2y－7＝0

【答案】B

【解析】依题意知，点(3，1)在圆(x－1)2＋y2＝r2上，且为切点.∵圆心(1，0)与切点(3，1)连线的斜率为，

所以切线的斜率 k＝－2.故过点(3，1)的切线方程为 y－1＝－2(x－3)，即 2x＋y－7＝0.

4.点(0，－1)到直线 y＝k(x＋1)距离的最大值为(　　)

A.1 B. C. D.2

【答案】B

【解析】设点 A(0，－1)，直线 l：y＝k(x＋1)，由 l恒过定点 B(－1，0)，当 AB⊥l时，点 A(0，－1)到直线

y＝k(x＋1)的距离最大，最大值为.故选 B.

5.已知点 P为圆 C：(x－1)2＋(y－2)2＝4上一点，A(0，－6)，B(4，0)，则|PA＋PB|的最大值为(　　)

A.＋2 B.＋4

C.2＋4 D.2＋2

【答案】C

【解析】取AB 中点 D(2，－3)，则PA＋PB＝2PD，|PA＋PB|＝|2PD|＝2|PD|，

又由题意知，圆 C的圆心 C(1，2)，半径为 2，

|PD|的最大值为圆心 C(1，2)到D(2，－3)的距离 d再加半径 r，

又d＝＝，∴d＋r＝＋2，

∴2|PD|的最大值为 2＋4，即|PA＋PB|的最大值为 2＋4.

6.(多选题)集合 A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，B＝{(x，y)|(x－3)2＋(y－4)2＝r2}，其中 r>0，若 A∩B中有且仅有一

个元素，则 r的值是(　　)

A.3 B.5 C.7 D.9

【答案】AC

【解析】圆x2＋y2＝4的圆心是 O(0，0)，半径为 R＝2，圆(x－3)2＋(y－4)2＝r2的圆心是 C(3，4)，半径为

r，|OC|＝5，当 2＋r＝5，r＝3时，两圆外切；当|r－2|＝5，r＝7时，两圆内切，它们都只有一个公共点，

即集合 A∩B只有一个元素.故选 AC.

7.(多选题)已知点 A是直线 l：x＋y－＝0上一定点，点 P，Q是圆 x2＋y2＝1上的动点，若∠PAQ 的最大值

为90°，则点 A的坐标可以是(　　)

A.(0，) B.(1，－1)

C.(，0) D.(－1，1)

【答案】AC

【解析】如图所示，坐标原点 O到直线 l：x＋y－＝0的距离 d＝＝1，则直线 l与圆 x2＋y2＝1相切，由图可

知，当 AP，AQ 均为圆 x2＋y2＝1的切线时，∠PAQ 取得最大值，连接 OP，OQ，由于∠PAQ 的最大值为

90°，且∠APO＝∠AQO＝90°，|OP|＝|OQ|＝1，则四边形 APOQ 为正方形，所以|OA|＝|OP|＝.设A(t，－t)，

由两点间的距离公式得|OA|＝＝，整理得 2t2－2t＝0，解得 t＝0或t＝，因此，点 A的坐标为(0，)或(，0).

故选 AC.

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