解密09 数列前n项和及其应用（讲义）-【高频考点解密】2022年高考数学二轮复习讲义+分层训练（新高考专用）

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解密 09 数列的前 n项和及其应用

高考考点命题分析三年高考探源考查频率

数列求和从近三年高考情况来看，数列求和及其应

用一直是高考的热点，尤其是等差、等比数列

的求和公式、错位相减法求和、裂项相消法求

和及拆项分组法求和为考查的重点，常与函

数、方程、不等式等联系在一起综合考查，考

查内容比较全面，多以解答题的形式呈现，解

题时要注意基本运算、基本能力的运用，同时

注意函数与方程、转化与化归等数学思想的应

用.

2021 年全国甲 7

2020 新课标全国Ⅲ 17

2020 新课标全国Ⅰ 17

2018 新课标全国Ⅰ 14

★★★★

数列的综

合应用

2021 全国Ⅰ 17

2021 新课标全国 II 12

2021 新课标全国 II 17

2021 年全国甲 18

2020 新课标全国Ⅱ 12

2019 新课标全国Ⅱ 19

2018 新课标全国 II 17

★★★★

考点一公式法求和

☆技巧点拨☆

1．两组求和公式

(1)等差数列：；

(2)等比数列：．

2．在进行等差(比)数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于 a1和d(q)的方程

组求解，但要注意消元法及整体计算，以减少计算量．

注：在运用等比数列前 n项和公式时，一定要注意判断公比 q是否为 1，切忌盲目套用公式导致失误．

例题 1．已知各项均为正数的等比数列的前 n项和为，若，，则（）

A．255 B．127 C．63 D．31

【答案】A

【分析】因为，，公比，所以，

，解得，，则故选：A

例题 2．已知数列的前项和为，且，则的最小值为（）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【分析】因为，

所以当时，，当时，

又适合上式，所以，所以当时，取得最小值 1，故选：A.

例题 3．已知是首项为 2的等比数列，是其前 n项和，且，则数列前 20 项和为（

）

A．﹣360 B．﹣380 C．360 D．380

【答案】A

【分析】根据题意，所以，

从而有，所以，所以数列的前 20 项和等于

故选： .

例题 4．已知各项均为正数的数列的前 n项和为，的前 n项和为，若对任意的正整数 n，都

有，则（）

A．B．nC．D．

【答案】B

【分析】由可得，两式作差得，

即，因为，

所以，，

两式作差得，即，

当时，，，故，

当时，，，由得，解得，

所以，所以的通项公式为 .

故选：B

例题 5．已知数列{an}的前 n项和，则下列结论正确的是（）

A．数列{an}是等差数列

B．数列{an}是递增数列

C．a1，a5，a9成等差数列

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