解密08 等差、等比数列（讲义）-【高频考点解密】2022年高考数学二轮复习讲义+分层训练（新高考专用）

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解密 08 等差数列、等比数列
高考考点 命题分析 三年高考探源 考查频率
等差数列
从近三年高考情况来看，等差数列和等比
数列一直是高考的热点，尤其是等差数列和等
比数列的通项公式及其性质，等差数列和等比
数列的前 n项和等为考查重点，有时会将等差
数列和等比的通项、前 n项和及性质综合考
查，题型有选择题、填空题，也有解答题，解
题时要注意性质的应用，充分结合函数与方
程、分类讨论、化归与方程等数学思想的运用.
2021 年全国甲 7
2020 新课标全国 II 4
2019 新课标全国Ⅰ 9
2019 新课标全国Ⅲ 14
2018 新课标全国Ⅰ 4
2018 新课标全国 II 17
★★★★★
等比数列
2020 新课标全国Ⅲ 17
2020 新课标全国Ⅰ 17
2019 新课标全国Ⅲ 5
2019 新课标全国Ⅰ 14
2018 新课标全国Ⅲ 17
★★★★★
等差数列
与等比数
列的综合
2021 全国Ⅰ 17
2021 新课标全国 II 12
2021 新课标全国 II 17
2021 年全国甲 18
2020 新课标全国 II 16
2019 新课标全国 II 19
★★
考点一 等差数列、等比数列的基本运算
☆技巧点拨☆
等差数列的判定与证明的方法：
定义法： 或 是等差数列；
定义变形法：验证是否满足 ；
等差中项法： 为等差数列；
通项公式法：通项公式形如 为常数 为等差数列；
前n项和公式法： 为常数 为等差数列．
注意：
（1）若判断一个数列不是等差数列，只需找出三项 ，使得 即可；
（2）如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．
等比数列的判定与证明常用的方法：
（1）定义法： 为常数且 数列 是等比数列．
（2）等比中项法： 数列 是等比数列．
（3）通项公式法： 数列 是等比数列．
（4）前 项和公式法：若数列的前 项和 ，则该数列是等比数列．
其中前两种方法是证明等比数列的常用方法，而后两种方法一般用于选择题、填空题中．
注意：
（1）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．
（2）只满足 的数列未必是等比数列，要使其成为等比数列还需要 .
例题 1．已知数列 的通项公式为 ，则（ ）
A．数列 为等差数列，公差 B．数列 为等差数列，公差
C．数列 为等比数列，公比 D．数列 为等比数列，公比
【答案】B
【分析】∵数列 的通项公式为 ，
∴，故数列 为等差数列，且公差 .故选：B.
例题 2．在等差数列 中，已知 ，则 （ ）
A．30 B．31 C．D．
【答案】B
【分析】因为数列 是等差数列，由已知 ，可得 ，解得 ，
所以 .
故选：B
例题 3．设等差数列 的前 项和为 ，若 ， 是方程 的两根，则 （ ）
A．60 B．116 C．29 D．58
【答案】D
【分析】因为 ， 是方程 的两根，故可得 ；
又因为 是等差数列，故 .
故选： .
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