解密07 空间几何中的向量方法（讲义）-【高频考点解密】2021年新高考数学二轮复习讲义+分层训练

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解密 07 空间几何中的向量方法

核心考点读高考设问知考法命题解读

利用向量证

明平行与垂

直

如图，在四棱锥 P－ABCD 中，PA⊥底面

ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点 E为棱

PC 的中点.

证明：(1)BE⊥DC；(2)BE∥平面 PAD；(3)平面 PCD⊥平面 PAD.

以空间几何体为

载体考查空间角

是高考命题的重

点，常与空间线

面关系的证明相

结合，热点为二

面角的求解，均

以解答题的形式

进行考查，难度

主要体现在建立

空间直角坐标系

和准确计算上.

利用空间向

量计算空间

角

【2018 新课标 2理9】在长方体中，

，，则异面直线与所成角的余弦值为( )

【2017 新课标 2理10】已知直三棱柱中，

，，，则异面直线与

所成角的余弦值为( )

(2020 新高考山东卷 20) 如图，四棱锥 P－ABCD 的底面为正方

形，PD⊥底面 ABCD.设平面 PAD 与平面 PBC 的交线为 l.

(1)证明：l⊥平面 PDC；

(2)已知 PD＝AD＝1，Q为l上的点，求 PB 与平面 QCD 所成角的正

弦值的最大值.

【2020 新课标 1理18】如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的

圆心，为底面直径，．是底面的内接正三角

形，为上一点，．（1）证明：平面

；

（2）求二面角的余弦值．

【2020 新课标 2理19】如图，在长方体中，点

分别在棱上，且，．

（1）证明点在平面内；

（2）若，，，求二面角的正弦

值．

【2016 新课标 3理19】如图，四棱锥中，地面

，，

，，为线段上一点，

，为的中点．

(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的

正弦值．

利用空间向

量求解探索

性问题

(2019·北京卷)如图，在四棱锥 P－ABCD 中，PA⊥平面 ABCD，

AD⊥CD，AD∥BC，PA＝AD＝CD＝2，BC＝3.E为PD 的中点，点

F在PC 上，且＝.

(1)求证：CD⊥平面 PAD；(2)求二面角 F－AE－P的余弦值；

(3)设点 G在PB 上，且＝.判断直线 AG 是否在平面 AEF 内，说明理

由.

核心考点一利用向量证明平行与垂直

直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法：

设直线 l的方向向量为 a＝(a1，b1，c1)，平面 α，β的法向量分别为 μ＝(a2，b2，c2)，

v＝(a3，b3，c3)，则

(1)线面平行

l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.

(2)线面垂直

l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2.

(3)面面平行

α∥β⇔μ∥v⇔μ＝λv⇔a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3.

(4)面面垂直

α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v＝0⇔a2a3＋b2b3＋c2c3＝0.

1.如图，在四棱锥 P－ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点 E为

棱PC 的中点.证明：(1)BE⊥DC；(2)BE∥平面 PAD；(3)平面 PCD⊥平面 PAD.

【解析】依题意，以点 A为原点建立空间直角坐标系(如图 )，可得

B(1，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2).由E为棱 PC 的中点，得 E(1，1，1).

(1)向量BE＝(0，1，1)，DC＝(2，0，0)，故BE·DC＝0.

所以 BE⊥DC.

(2)因为 AB⊥AD，又 PA⊥平面 ABCD，AB⊂平面 ABCD，

所以 AB⊥PA，PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面 PAD，

所以 AB⊥平面 PAD，

所以向量AB＝(1，0，0)为平面 PAD 的一个法向量，

而BE·AB＝(0，1，1)·(1，0，0)＝0，所以 BE⊥AB，

又BE⊄平面 PAD，

所以 BE∥平面 PAD.

(3)由(2)知平面 PAD 的法向量AB＝(1，0，0)，向量PD＝(0，2，－2)，DC＝(2，0，0)，

设平面 PCD 的一个法向量为 n＝(x，y，z)，

则即

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