解密07 空间几何中的向量方法（分层训练）-【高频考点解密】2021年新高考数学二轮复习讲义+分层训练（解析版）

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解密 07 空间几何中的向量方法

A组考点专练

一、选择题

1.在长方体 ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线 AD1与DB1所成角的余弦值为(　　)

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为 x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所

示.由条件可知 D(0，0，0)，A(1，0，0)，D1(0，0，)，B1(1，1，)，所以AD1＝(－1，0，)，DB1＝

(1，1，).则cos〈AD1，DB1〉＝＝＝，即异面直线 AD1与DB1所成角的余弦值为.

2.如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA⊥平面 ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2.以AC 的中点

O为球心，AC 为直径的球面交 PD 于点 M.则CD 与平面 ACM 所成角的正弦值为(　　)

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，则

A(0，0，0)，P(0，0，4)，B(2，0，0)，C(2，4，0)，D(0，4，0)，M(0，2，2).

所以AC＝(2，4，0)，AM＝(0，2，2)，CD＝(－2，0，0).

设平面 ACM 的法向量 n＝(x，y，z)，

由n⊥AC，n⊥AM，

可得令 z＝1，得 n＝(2，－1，1).

设CD 与平面 ACM 所成的角为 α，

则sin α＝＝.

3.如图，在棱长为 2的正方体 ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱 AA1，BB1的中点，M为棱 A1B1上一点，

且A1M＝λ(0<λ<2)，设 N为线段 ME 的中点，则点 N到平面 D1EF 的距离为(　　)

A.λ B. C.λ D.

【答案】D

【解析】以D为坐标原点，DA 所在直线为 x轴，DC 所在直线为 y轴，DD1所在直线为 z轴，建立如图所

示的空间直角坐标系，

则M(2，λ，2)，D1(0，0，2)，E(2，0，1)，F(2，2，1)，

ED1＝(－2，0，1)，EF＝(0，2，0)，EM＝(0，λ，1).

设平面 D1EF 的法向量为 n＝(x，y，z)，

则取 x＝1，得 z＝2，则 n＝(1，0，2)为平面 D1EF 的一个法向量.

则点 M到平面 D1EF 的距离 d＝＝＝.

因为 N为线段 EM 的中点，所以点 N到平面 D1EF 的距离为，故选 D.

4.(多选题)如图，四边形 ABCD 是边长为 1的正方形，ED⊥平面 ABCD，FB⊥平面 ABCD，且 ED＝FB＝

1，G为线段 EC 上的动点，下列结论正确的是(　　)

A.EC⊥AF

B.该几何体外接球的表面积为 3π

C.若G为线段 EC 的中点，则 GB∥平面 AEF

D.AG2＋BG2的最小值为 3

【答案】ABC

【解析】如图，几何体可补成正方体，以 D为原点，DA，DC，DE分别为 x轴，y轴，z轴的正方向建立空

间直角坐标系 D－xyz，由正方体的性质可知 EC⊥AF，故 A正确；

该几何体的外接球即为正方体的外接球，所以外接球的直径为正方体的体对角线长，所以该几何体的外接

球的半径为，即外接球的表面积为 3π，故 B正确；

连接 HC ，BG ，由正方体性质可知，HC⊥平面 AEF ，所以HC 即为平面 AEF 的一个法向量，

H(1，0，1)，C(0，1，0)，所以HC＝(－1，1，－1)，若 G为线段 EC 的中点，则 G，B(1，1，0)，则GB

＝，因为GB·HC＝0，又 GB⊄平面 AEF，所以 GB∥平面 AEF，故 C正确；

设G(0，t，1－t)(0≤t≤1)，又 B(1，1，0)，A(1，0，0)，所以AG＝(－1，t，1－t)，BG＝(－1，t－1，1－

t)，所以 AG2＋BG2＝(－1)2＋t2＋(1－t)2＋(－1)2＋(t－1)2＋(1－t)2＝4t2－6t＋5，故当 t＝时，AG2＋BG2取得

最小值为，故 D错误.故选 ABC.

二、填空题

5.在长方体 ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝AA1＝1，则直线 D1C1与平面 A1BC1所成角的正弦值为_____

___.

【答案】

【解析】如图，建立空间直角坐标系 D－xyz，

则D1(0，0，1)，C1(0，2，1)，A1(1，0，1)，B(1，2，0).

∴D1C1＝(0，2，0)，A1C1＝(－1，2，0)，A1B＝(0，2，－1)，

设平面 A1BC1的法向量为 n＝(x，y，z)，

由

得令 y＝1，得 n＝(2，1，2)，

设直线 D1C1与平面 A1BC1所成角为 θ，则

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