解密06 空间点、线、面的位置关系（分层训练）-【高频考点解密】2021年新高考数学二轮复习讲义+分层训练（解析版）

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解密 06 空间点、线、面的位置关系

A组考点专练

一、选择题

1.设α，β为两个平面，则 α∥β的充要条件是(　　)

A.α内有无数条直线与 β平行

B.α内有两条相交直线与 β平行

C.α，β平行于同一条直线

D.α，β垂直于同一平面

【答案】B

【解析】若α∥β，则 α内有无数条直线与 β平行，当 α内有无数条直线与 β平行时，α与β可能相交；若

α，β平行于同一条直线，则 α与β可以平行也可以相交；若 α，β垂直于同一个平面，则 α与β可以平行也

可以相交，故 A，C，D中条件均不是 α∥β的充要条件.根据两平面平行的判定定理知，若一个平面内有两

条相交直线与另一个平面平行，则两平面平行，反之也成立.因此 B中条件是 α∥β的充要条件.

2.已知 α，β是两个不同的平面，直线 m⊂α，下列命题正确的是(　　)

A.若α⊥β，则 m∥β B.若α⊥β，则 m⊥β

C.若m∥β，则 α∥β D.若m⊥β，则 α⊥β

【答案】D

【解析】若m⊂α，α⊥β，则 m∥β或m与β相交或 m⊂β，所以 A，B错误.若m⊂α，m∥β，则 α∥β或α与

β相交，所以 C错误.由面面垂直的判定定理可知 D正确.故选 D.

3.已知四棱锥 P－ABCD 的所有棱长均相等，点 E，F分别在线段 PA，PC 上，且 EF∥底面 ABCD，则异面

直线 EF 与PB 所成角的大小为(　　)

A.30° B.45° C.60° D.90°

【答案】D

【解析】连接 AC，BD.设AC∩BD＝O.因为 EF⊂平面 PAC，平面 PAC∩平面 ABCD＝AC，且 EF∥底面

ABCD，所以 EF∥AC.由四边形 ABCD 为菱形，得 AC⊥BD.连接 OP.因为 O为AC 的中点，PA＝PC，所以

PO⊥AC.又BD∩OP＝O，所以 AC⊥平面 PBD，所以 AC⊥PB.又EF∥AC，所以 EF⊥PB，即异面直线 EF

与PB 所成角的大小为 90°.故选 D.

4.(多选题)如图，正方体 ABCD－A1B1C1D1的棱长为 1，E，F，G分别为 BC，CC1，BB1的中点，则(　　)

A.直线 D1D与直线 AF 垂直

B.直线 A1G与平面 AEF 平行

C.平面 AEF 截正方体所得的截面面积为

D.点C与点 G到平面 AEF 的距离相等

【答案】BC

【解析】连接 AD1，D1F，则 AD1∥EF，平面 AEF 即为平面 AEFD1.显然 DD1不垂直于平面 AEFD1，∴直线

DD1与直线 AF 不垂直，故 A错误.∵A1G∥D1F，A1G⊄平面 AEFD1，∴A1G∥平面 AEFD1，即 A1G∥平面

AEF，故 B正确.平面 AEF 截正方体所得截面为等腰梯形 AEFD1，易知梯形 AEFD1的面积为××＝，故 C正

确.记点 C与点 G到平面 AEF 的距离分别为 h1，h2，∵VC－AEF＝·S△AEF·h1＝VA－CEF＝×1×××＝，VG－AEF ＝

·S△AEF·h2＝VA－GEF＝×1××1×＝，∴h1≠h2，故 D错误.故选 BC.

5.(多选题)如图，在棱长为 1的正方体 ABCD－A1B1C1D1中，P为棱 CC1上的动点(点P不与点 C，C1重合)，

过点 P作平面 α分别与棱 BC，CD 交于 M，N两点，若 CP＝CM＝CN，则下列说法正确的是(　　)

A.A1C⊥平面 α

B.存在点 P，使得 AC1∥平面 α

C.存在点 P，使得点 A1到平面 α的距离为

D.用过点 P，M，D1的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形

【答案】ACD

【解析】连接 BC1，BD，DC1，AD1，D1P.因为 CM＝CN，CB＝CD，所以＝，所以 MN∥BD.又MN⊄平面

C1BD ，BD⊂平面 C1BD ，所以 MN∥平面 C1BD.同理可证 MP∥BC1，MP∥平面 C1BD.又MN∩MP ＝

M，MN，MP⊂平面 α，所以平面 C1BD∥平面 α.易证 AC1⊥平面 C1BD，所以 A1C⊥平面 α，A正确.又AC1∩

平面 C1BD＝C1，所以 AC1与平面 α相交，不存在点 P，使得 AC1∥平面 α，B不正确.因为|A1C|＝＝，所以

点A1到平面 α的距离的取值范围为，即.又<<，所以存在点 P，使得点 A1到平面 α的距离为，C正确.因为

AD1∥BC1，所以 MP∥AD1，所以用过点 P，M，D1的平面去截正方体得到的截面是四边形 AD1PM.又

AD1∥MP，且 AD1≠MP，所以截面为梯形，D正确.故选 ACD.

二、填空题

6.如图，在空间四边形 ABCD 中，点 M∈AB，点 N∈AD，若＝，则直线 MN 与平面 BDC 的位置关系是___

___.

【答案】平行

【解析】由＝，得 MN∥BD.而BD⊂平面 BDC，MN⊄平面 BDC，所以 MN∥平面 BDC.

7.已知圆锥的顶点为 S，顶点 S在底面的射影为 O，轴截面 SAB 是边长为 2的等边三角形，则该圆锥的侧面

积为_______，点 D为母线 SB 的中点，点 C为弧 AB 的中点，则异面直线 CD 与OS 所成角的正切值为____

___.

【答案】2π　

【解析】设该圆锥底面圆的半径为 r，则 2r＝AB＝2，即 r＝1，所以 S圆锥侧＝πr×SA＝2π.如图，取 OB 的中

点E，连接 CD，DE，CE，OC，则 DE∥OS，DE＝OS，即∠CDE(或其补角)为OS 与CD 所成的角.OS＝

ASsin 60°＝，∴DE＝，CE＝＝.因此 tan∠CDE＝＝.

8.已知正方体 ABCD－A1B1C1D1的棱长为 4，点 P是AA1的中点，点 M在侧面 AA1B1B内，若 D1M⊥CP，则

△BCM 面积的最小值为________.

【答案】

【解析】如图，取 AB 的中点 N，AD 的中点 Q，连接 D1Q，QN，B1N，AC.由于 CP 在面 ABCD 内的射影为

AC ，QN⊥AC ，故 QN⊥CP.因为 CP 在面 ADD1A1内的射影为 DP ，D1Q⊥DP ，所以 D1Q⊥CP.故由

QN⊥CP，D1Q⊥CP，D1Q∩QN＝Q，得 CP⊥平面 D1QNB1.要使 CP⊥D1M，必须点 M在平面 D1QNB1内，

又点 M在侧面 AA1B1B内，所以点 M在平面 D1QNB1与平面 AA1B1B的交线上，即 M∈B1N.因为 CB⊥平面

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