广东省2022届新高考高三考试数学试卷分类汇编：函数与导数解答题(解析版)

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广东省 2022 届新高考数学高三上学期 10 月月考试卷分类汇编：
函数与导数解答题
1．【2022·广东省普通高中 10 月阶段性质量检测】
已知 ， .
（1）讨论 的零点个数；
（2）是否存在 使 有极大值？若存在，求出 的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）答案见解析；（2）存在， .
【解析】
【分析】（1）对函数求导，进而讨论 a得到函数的单调区间，进而结合零点存在定理得到答案；
（2）设 ，进而通过讨论 a对 的单调性进行分类讨论，然后讨论出函数存在极大
值的条件，进而得到答案.
【详解】（1） ， .
当 时， 恒成立，所以 单调递增，至多有一个零点，
因为 ，取 ，则 ，所以当 时， 有唯一零点；
当 时， 无解，所以 无零点；
当 时，由 得 .
在 上单调递增，在 上单调递减，
，
当 时， ， ， 无零点；
当 时， ， ， 有一个零点；
当 时， ， 有两个零点.
综上，当 或 时， 有一个零点；
当 时， 无零点；当 时， 有两个零点.
（2）令 ，
，令 ， ，
①当 时， ， 单调递增，
因为 ，
限定 ,则 ，则当 且 时， ，
于是存在唯一实数 ，使得 ，即 ，
时， ， 单调递减， 时， ， 单调递增，
则函数无极大值，舍去.
②当 时，令 ， 在 上 单调递增，在
上 单调递减，
则
若 ，则 在 单调递减，无极大值，舍去.
若 ，
限定 ，令 ， ，则 在 单调递减，所以
，则 ，
所以 时， ，
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