第四节 平面向量的综合应用(课时训练)-2022年高考数学一轮复习同步备课学案+题型考点分析+课时训练+真题演练(解析版)

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【课时训练】第四节 平面向量的综合应用
1．设 a，b是非零向量，若函数 f(x)＝(xa＋b)·(a－xb)的图象是一条直线，则必有(　　)
A．a⊥b　　 B．a∥b
C．|a|＝|b|　　 D．|a＋b|＝|a|
【解析】　f(x)＝－(a·b)x2＋(a2－b2)x＋a·b．依题意知 f(x)的图象是一条直线，
所以 a·b＝0，即 a⊥b．故选 A．
【答案】 A
2．已知点 A(－2,0)，B(3,0)，动点 P(x，y)满足PA·PB＝x2－6，则点 P的轨迹是(　　)
A．圆　　 B．椭圆
C．双曲线　　 D．抛物线
【解析】　因为PA＝(－2－x，－y)，PB＝(3－x，－y)，所以PA·PB＝(－2－x)(3－x)＋y2＝x2－6，所
以y2＝x，即点 P的轨迹是抛物线．故选 D．
【答案】 D
3．已知向量 a＝(1,2)，b＝(m,1)(m<0)，且向量 b满足 b·(a＋b)＝3，则(　　)
A．|b|＝
B．(2a＋b) (∥a＋2b)
C．向量 2a－b与a－2b的夹角为
D．向量 a在b方向上的投影为
【解析】　将 a＝(1,2)，b＝(m,1)代入 b·(a＋b)＝3，得(m,1)·(1＋m,3)＝3，得 m2＋m＝0，解得 m＝－1
或m＝0(舍去)，所以 b＝(－1,1)，所以|b|＝＝，故 A错误；因为 2a＋b＝(1,5)，a＋2b＝(－1,4)，1×4－(－
1)×5＝9≠0，所以 2a＋b与a＋2b不平行，故 B错误；设向量 2a－b与a－2b的夹角为 θ，因为 2a－b＝
(3,3)，a－2b＝(3,0)，所以 cos θ＝＝，所以 θ＝，故 C正确；向量 a在b方向上的投影为＝＝，故 D错误．
【答案】 C
4．已知点 M(－3,0)，N(3,0)．动点 P(x，y)满足|MN|·|MP|＋MN·NP＝0，则点 P的轨迹的曲线类型为(
)
A．双曲线　　 B．抛物线
C．圆　　 D．椭圆
【解析】 MN＝(3,0)－(－3,0)＝(6,0)，|MN|＝6，MP＝(x，y)－(－3,0)＝(x＋3，y)，NP＝(x，y)－
(3,0)＝(x－3，y)，所以|MN|·|MP|＋MN·NP＝6＋6(x－3)＝0，化简可得 y2＝－12x．故点 P的轨迹为抛物线．
故选 B．
【答案】 B
5．已知函数 f(x)＝sin ωx(ω>0)的部分图象如图所示，A，B分别是这部分图象上的最高点、最低点，O
为坐标原点，若OA·OB＝0，则函数 f(x＋1)是(　　)
A．周期为 4π 的函数　　 B．周期为 2π 的函数
C．奇函数　　 D．偶函数
【解析】　由题图可得 A，B，由OA·OB＝0得－3＝0，又 ω>0，所以 ω＝，所以 f(x)＝sin x，所以 f(x
＋1)＝sin ＝cos x，它是周期 4的偶函数．故选 D．
【答案】 D
6．已知 O是△ABC 内一点，OA＋OB＋OC＝0，AB·AC＝2且∠BAC＝60°，则△OBC 的面积为(　　)
A．B．
C．D．
【解析】　∵OA＋OB＋OC＝0，∴O是△ABC 的重心，∴S△OBC＝S△ABC
．
∵AB·AC＝2，∴|AB|·|AC|
·cos∠BAC＝2．又∠BAC＝60°，∴|AB|·|AC|＝4，∴S△ABC＝|AB|·|AC|sin∠BAC＝，∴△OBC 的面积为，故
选A．
【答案】 A
7．已知 O是△ABC 内部一点，且满足OA＋OB＋OC＝0，又AB·AC＝2，∠BAC＝60°，则△OBC 的面
积为(　　)
A． B．3
C．1 D．2
【解析】 由AB·AC＝2，∠BAC＝60°，可得AB·AC＝|AB|·|AC|cos ∠BAC＝·|AB||AC|＝2，所以|AB||AC|
＝4，所以 S△ABC＝|AB||AC|sin∠BAC＝3，又OA＋OB＋OC＝0，所以 O为△ABC 的重心，所以 S△OBC＝S△ABC
＝1，故选 C．
【答案】 C
8．向量 m＝，n＝(sin x，cos x)，x∈(0，π)，①若 m∥n，则 tan x＝________；②若 m与n的夹角为，
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