第三节 向量的数量积(真题演练)-2022年高考数学一轮复习同步备课学案+题型考点分析+课时训练+真题演练(解析版)

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【真题演练】第三节 向量的数量积
1．(2021·高考北京卷) ， ， ，则 _______；_______．
【解析】 ，
， ，
．故答案为：0；3．
【答案】 0 3
2．(2021·高考全国甲卷理数)已知向量 ．若 ，则 ________．
【解析】 ,
，解得 ,
故答案为： ．
【答案】 ．
3．(2021·高考全国甲卷文数)若向量 满足 ，则 _________．
【解析】 ∵ ，∴ ∴ ．故答案为：
．
【答案】
4．(2021·高考全国乙卷理数)已知向量 ，若 ，则 __________．
【解析】 因为 ，所以由 可得，
，解得 ．故答案为： ．
【答案】
5．(2021·新高考全国Ⅱ卷)已知向量 ， ， ， ______
_．
【解析】 由已知可得
，因此， ．故答案为： ．
【答案】
6．(2021·安徽六校联考)向量 a＝(2,4)，b＝(5,3)，则 a·(a－b)＝(　　)
A．－10　　 B．14　　　
C．－6　　 D．－2
【解析】　∵a－b＝(－3,1)，∴a·(a－b)＝－6＋4＝－2．故选 D．
【答案】 D
7．(2021·安徽十校摸底考试)在△ABC 中，AP＝PB，且|CP|＝2，|CA|＝8，∠ACB＝，则CP·CA＝(
)
A．24　　 B．12
C．24　　 D．12
【解析】　设|CB|＝x，∵2CP＝CA＋CB，两边平方得 48＝64＋x2－8x，解得 x＝4，∴CP·CA＝(CA＋
CB)·CA＝(CA2＋CA·CB)＝×(64－16)＝24．故选 A．
【答案】 A
8．(2021·甘肃兰州模拟)已知非零单位向量 a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则 a与b－a的夹角为(　　)
A．　　 B．
C．　　 D．
【解析】　方法一：设 a与b－a的夹角为 θ．因为|a＋b|＝|a－b|，所以|a＋b|2＝|a－b|2，
即|a|2＋2a·b＋|b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2，所以 a·b＝0．
因为 a，b为非零单位向量，所以(b－a)2＝2，即|b－a|＝．
因为 a·(b－a)＝a·b－a·a＝－1＝|a||b－a|cos θ，
所以 cos θ＝＝－，因为 θ[0∈，π]，所以 θ＝．
方法二：几何法，如图，|a＋b|与|a－b|分别表示以 a，b为邻边(共起点)的菱形两对角线长度，且长度
相等，从而菱形为正方形，再作出 b－a知所求为．
方法三：坐标法，由|a＋b|＝|a－b|得a⊥b，又 a，b为单位向量，则在平面直角坐标系中取 a＝
(1,0)，b＝(0,1)，则 b－a＝(－1,1)，由向量夹角的坐标运算知 a与b－a的夹角为．
【答案】 D
9．(2021·江西南昌二中)已知向量 a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)，若 a与b的夹角为钝角，则 λ的取值范
围可以是(　　)
A．　　 B．(2，＋∞)
C．∪(2，＋∞)　　 D．∪
【解析】　∵a与b的夹角为钝角，∴－2λ－1<0，即 λ>－．又 a≠μb(μ<0)，∴λ≠2，∴λ的取值范围是
∪(2，＋∞)．故选 C．
【答案】 C
10．(2021·河北省武邑模拟)△ABC 外接圆的半径等于 1，其圆心 O满足AO＝(AB＋AC)，|AO|＝|
AC|，则BA在BC方向上的投影等于(　　)
A．－　　 B．　　　
C．　　 D．3
【解析】　因为△ABC 外接圆的半径等于 1，其圆心 O满足AO＝(AB＋AC)，
所以点 O在BC 上，且 O为BC 的中点，如图所示，
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