第三节向量的数量积(题型考点分析)-2022年高考数学一轮复习同步备课学案+题型考点分析+课时训练+真题演练(解析版)

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题型考点分析　第三节向量的数量积

【考点一】平面向量数量积的运算

【典型例题 1】

(1)如图，已知平面四边形 ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC

与BD 交于点 O．记 I1＝OA·OB，I2＝OB·OC，I3＝OC·OD，则(　　)

A．I1＜I2＜I3 B．I1＜I3＜I2

C．I3 ＜ I1＜I2 D．I2＜I1＜I3

(2)已知△ABC 是边长为 2的等边三角形，P为平面 ABC 内一点，则PA·(PB＋PC)的最小值是(　　)

A．－2 B．－

C．－ D．－1

(3)正方形 ABCD 边长为 2，中心为 O，直线 l经过中心 O，交 AB 于M，交 CD 于N, P 为平面上一点，

且2OP＝λOB＋(1－λ)OC，则PM·PN的最小值是(　　)

A．－ B．－1 C．－ D．－2

【解析】　(1)如图所示，四边形 ABCE 是正方形，F为正方形的对角线的交点，易得 AO<AF，而

∠AFB＝90°，所以∠AOB 与∠COD 为钝角，∠AOD 与∠BOC 为锐角．根据题意， I1－I2＝OA·OB－

OB·OC＝OB·(OA－OC)＝OB·CA＝|OB|·|CA|·cos∠AOB<0，所以 I1<I2，同理得，I2>I3，作 AG⊥BD 于G，又

AB ＝AD ，所以 OB<BG ＝GD<OD ，而 OA<AF ＝FC<OC ，所以|OA|·|OB|<|OC|·|OD|，而 cos∠AOB ＝

cos∠COD<0，所以OA·OB>OC·OD，即 I1>I3．所以 I3<I1<I2．

(2)如图，以等边三角形 ABC 的底边 BC 所在的直线为 x轴，以 BC 的垂直平分线为 y轴建立平面直角

坐标系，则 A(0，)，B(－1，0)，C(1，0)，设 P(x，y)，则PA＝(－x，－y)，PB＝(－1－x，－y)，PC＝(1－

x，－y)，所以PA·(PB＋PC)＝(－x，－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋2－，当 x＝0，y＝时，PA·(PB＋PC)取得最小

值，为－，选择 B．

(3)由题意可得：PM·PN＝

＝(4PO2－4NO2)＝PO2－NO2，

设2OP＝OQ，则OQ＝λOB＋(1－λ)OC，

∵λ＋(1－λ)＝1，∴Q，B，C三点共线．

当MN 与BD 重合时，最大，且 max＝2，

据此：(PM·PN)min＝－2＝－．

【答案】　(1)C　(2)B (3) C

【归纳总结】

(1)向量数量积的两种运算方法

① 当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．

② 当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a·b＝x1x2＋y1y2．

(2)数量积在平面几何中的应用

解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题时，常利用解析法，巧妙构造坐标系，利用坐标求解．

【考点二】求两向量的夹角

【典型例题 2】

(1)已知非零向量 a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则 a与b的夹角为(　　)

A． B．

C． D．

(2)已知 a，b为单位向量，且 a·b＝0，若 c＝2a－b，则 cos〈a，c〉＝________．

【解析】 (1) 法一：因为(a－b)⊥b，所以(a－b)·b＝a·b －|b|2＝0，又因为|a|＝2|b|，所以 2|b|

2cos〈a，b〉－|b|2＝0，即 cos〈a，b〉＝，又知〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝，故选 B．

法二：如图，令OA＝a，OB＝b，则BA＝OA－OB＝a－b，因为(a－b)⊥b，所以∠OBA＝90°，

又|a|＝2|b|，所以∠AOB＝，即〈a，b〉＝．故选 B．

(2)法一：∵|a|＝|b|＝1，a·b＝0，

∴a·c＝a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2，

|c|＝|2a－b|＝

＝＝3．

cos∴〈a，c〉＝＝．

法二：不妨设 a＝(1，0)，b＝(0，1)，

则c＝2(1，0)－(0，1)＝(2，－)，

cos∴〈a，c〉＝＝．

【答案】 (1)B　(2)

【归纳总结】求平面向量的夹角的方法

① 定义法：cos θ＝，注意 θ的取值范围为[0，π]．

② 坐标法：若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 cos θ＝．

③ 解三角形法：可以把所求两向量的夹角放到三角形中进行求解．

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