第三节 向量的数量积(课时训练)-2022年高考数学一轮复习同步备课学案+题型考点分析+课时训练+真题演练(解析版)

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【课时训练】第三节 向量的数量积
1．设正方形 ABCD 的边长为 1，则|AB－BC＋AC|等于(　　)
A．0 B．
C．2 D．2
【解析】 正方形 ABCD 的边长为 1，则|AB－BC＋AC|2＝|DB＋AC|2＝|DB|2＋|AC|2＋2DB·AC＝12＋12
＋12＋12＝4，所以|AB－BC＋AC|＝2，故选 C．
【答案】 C
2．已知平面向量 a，b，c满足 c＝xa＋yb(x，yR)∈，且 a·c>0，b·c>0．(　　)
A．若 a·b<0 则x>0，y>0 B．若 a·b<0 则x<0，y<0
C．若 a·b>0 则x<0，y<0 D．若 a·b>0 则x>0，y>0
【解析】 由 a·c>0，b·c>0，若 a·b<0，可举 a＝(1，1)，b＝(－2，1)，c＝(0，1)，则 a·c＝1>0，b·c
＝1>0，a·b＝－1<0，由 c＝xa＋yb，即有 0＝x－2y，1＝x＋y，解得 x＝，y＝，则可排除 B；若 a·b>0，可
举a＝(1，0)，b＝(2，1)，c＝(1，1)，则 a·c＝1>0，b·c＝3>0，a·b＝2>0，由 c＝xa＋yb，即有 1＝x＋
2y，1＝y，解得 x＝－1，y＝1，则可排除 C，D．故选 A．
【答案】 A
3．已知正方形 ABCD 的边长为 2，点 F是AB 的中点，点 E是对角线 AC 上的动点，则DE·FC的最大
值为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 以 A为坐标原点，AB，AD方向分别为 x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系(图略)，则
F(1，0)，C(2，2)，D(0，2)，设 E(λ，λ)(0≤λ≤2)，则DE＝(λ，λ－2)，FC＝(1，2)，所以DE·FC＝3λ－4≤2．
所以DE·FC的最大值为 2．故选 B．
【答案】 B
4．已知平面向量 a，b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝，若向量 c满足|a－b＋c|≤1，则|c|的最大值为(　　)
A．1 B．
C． D．2
【解析】由平面向量 a，b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝，可得|a|·|b|·cos〈a，b〉＝1·1·cos〈a，b〉＝，由
0≤〈a，b〉≤π，可得〈a，b〉＝，设 a＝(1，0)，b＝，c＝(x，y)，则|a－b＋c|≤1，即有≤1，即为＋≤1，
故|a－b＋c|≤1 的几何意义是在以为圆心，半径等于 1的圆上和圆内部分，|c|的几何意义是表示向量 c的终
点与原点的距离，而原点在圆上，则最大值为圆的直径，即为 2．
【答案】 D
5．记 max{a，b}＝，已知向量 a，b，c满足|a|＝1，|b|＝2，a·b＝0，c＝λa＋μb(λ，μ≥0，且 λ＋μ＝
1)，则当 max{c·a，c·b}取最小值时，|c|＝　(　　)
A． B．
C．1 D．
【解析】 如图所示，设OA＝a，OB＝b，则 a＝(1，0)，b＝(0，2)，
因为 λ，μ≥0，λ＋μ＝1，所以 0≤λ≤1．
又c＝λa＋μb，所以 c·a＝(λa＋b－λb)·a＝λ；c·b＝(λa＋b－λb)·b＝4－4λ．
由λ＝4－4λ，得 λ＝．所以 max{c·a，c·b}＝．
令f(λ)＝．则 f(λ)∈．所以 f(λ)min＝，此时 λ＝，μ＝，
所以 c＝a＋b＝．所以|c|＝ ＝．故选 A．
【答案】 A
6．若两个非零向量 a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|b|，则向量 a＋b与a的夹角为(　　)
A． B． C． D．
【解析】 方法一：由|a＋b|＝|a－b|知，a·b＝0，所以 a
⊥
b．将|a－b|＝2|b|两边平方，得|a|2－2a·b＋|b|
2＝4|b|2，所以|a|2＝3|b|2，所以|a|＝|b|，所以 cos〈a＋b，a〉＝＝＝＝，所以向量 a＋b与a的夹角为，故选
A．
方法二：∵|a＋b|＝|a－b|，∴a⊥b．在四边形 ABCO 中，设|OC|＝|b|＝1，|a＋b|＝2|b|＝2，∴|a|
＝，∴〈a＋b，a〉＝∠BOA，∴在 Rt△OBC 中，∠BOA＝．
【答案】 A
7．已知平面向量 a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|＝1，若 a·b＝，则(a＋c)·(2b－c)的最小值为(　　)
A．－2 B．－ C．－1 D．0
【解析】 因为 a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉＝cos〈a，b〉＝，所以〈a，b〉＝．不妨设 a＝(1，0)，b
＝，c＝(cos θ，sin θ)，则(a＋c)·(2b－c)＝2a·b－a·c＋2b·c－c2＝1－cos θ＋2－1＝sin θ，所以(a＋c)·(2b－c)
的最小值为－，故选 B．
【答案】 B
8．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，CB＝2，CA＝4，P在边 AC 的中线 BD 上，则CP·BP的最小值为(　　)
A．－ B．0
C．4 D．－1
【解析】 依题意，以 C为坐标原点，分别以 AC，BC 所在的直线为 x，y轴，建立如图所示的平面直
角坐标系，则 B(0，2)，D(2，0)，所以直线 BD 的方程为 y＝－x＋2，因为点 P在边 AC 的中线 BD 上，所
以可设 P(t，2－t)(0≤t≤2)，所以CP＝(t，2－t)，BP＝(t，－t)，所以CP·BP＝t2－t(2－t)＝2t2－2t＝2－，当 t
＝时，CP·BP取得最小值－，故选 A．
【答案】 A
9．已知点 P是圆 x2＋y2＝4上的动点，点 A，B，C在以坐标原点 O为圆心的单位圆上运动，且AB·BC
＝0，则|PA＋PB＋PC|的最大值为(　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
【解析】　由 A，B，C三点在圆 x2＋y2＝1上，且AB·BC＝0，得 AC 是该圆的直径．设PO，OB的夹角
为θ，θ[0∈，π]，则|PA＋PB＋PC|＝|2PO＋PB|＝|3PO＋OB|＝＝＝＝，当 θ＝0时，|PA＋PB＋PC|取得最大
值7，故选 C．
【答案】 C
10．在 Rt△ABC 中，∠BCA＝90°，CA＝CB＝1，P是AB 边上的点，AP＝λAB，若CP·AB≥PA·PB，则
实数 λ的最大值是(　　)
A．1 B．
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